Laplacetransformation

[baracuda]

Hallo ich habe 2 Fragen zur Laplacetransformation.

1.) Ich habe gehört es gibt einen Schmä bei dem man den Ausdruck durch irgenwas dividiert und sich so die eigentliche Transformation spart. Kennt den jemand und weiss wie der genau funktioniert?

2.)
Man löse mit Hilfe der Laplace Transformation das Anfangswertproblem:
y''+2y'+2y=0 mit y(0) = 1,y'(0) = 0

Mein Problem ist nun, dass ich auf folgende Form komme:


F(s) = (s+2)/(s^2+2s+2)

Ich schaffe es nicht den Ausdruck so umzuformen, sodass ich diesen in der Tabelle nachschlagen könnte. Wär cool wenn jemand eine Lösung weiss. Es hat schon einen Post gegeben, mit einem Link zu einer Lösung. Allerdings ist der link fehlerhaft.

[Foolish_Genius]

F(s) = (s+2)/(s^2+2s+2)

Ich schaffe es nicht den Ausdruck so umzuformen, sodass ich diesen in der Tabelle nachschlagen könnte. Wär cool wenn jemand eine Lösung weiss. Es hat schon einen Post gegeben, mit einem Link zu einer Lösung. Allerdings ist der link fehlerhaft.

Ich bin zwar auch nicht so der Laplace-Profi, aber:
Du musst den Nenner normalerweise anders anschreiben, und zwar mittels Satz von Vieta. Also wenn du eine quadratische Funktion als Nenner hast, dann hast du 2 Nullstellen, dann kannst du die quadratische Funktion auch anschreiben als (s-Nullstelle1) * (s-Nullstelle2). Ich finde die Gleichung die du rausbekommst ein bißchen schwer, weil die komplexe Lösungen hat ;-) bist du dir sicher dass die stimmt? Ich mein wenn die Rechnung aus einem PO kommt, dann sind da normalerweise bei einer Laplace-Transformation keine komplexen Nullstellen dabei, zumindest net bei Mathe 2 ;-)

Und dann machst du Partialbruchzerlegung. zum bsp: nullstelle1 = s1, nullstelle 2 = s2, dann schreibst du das so an:
(s+2)/((s-s1)*(s-s2)) = A/(s-s1) + B/(s-s2).
(Das löst man indem man die ganze Gleichung mal (s-s1) nimmt und dann s = s1 setzt, dadurch fallt B weg und man erhält A).

Und die Brüche der Form A/(s-s1) + B/(s-s2) kannst du ja ganz leicht rücktransformieren. :thumb:

hoff das hilft.

[Foolish_Genius]

Anmerkung: Dieses Bsp ist doch nicht mit Partialbruchzerlegung zu lösen wie man das sonst oft macht, sondern so wie im pdf im thread http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=21560