Bsp. 114

[bluefoxx]

habe mir das mal angesehen und komme auf folgendes:

es muss wieder gelten

a-b € W

kann aber nicht gelten weil z.b.

a=(-2,-2,-2) und b=(-6,-6,-2) zwar beide kleiner gleich 0 sind, aber wenn man beide subtrahiert sieht man dass das ergebnis ein vektor c=(4,4,0) ist.

und 4+4+0 ist nicht kleiner/gleich 0 - also ist W kein Teilraum von R3.

ok - und wie stellt man x+y+z kleiner/gleich 0 geometrisch im R3 dar? *grübel*

edit: grad nen geistesblitz gehabt: geometrisch sollte es ja der komplette R3 ohne dem positiven quadranten sein, den die positive x,y und z achse bilden oder?

[Raiden]

Teilraum ist es keiner, hab mir auch so ein Gegenbeispiel ueberlegt.

Aber bei dem geometrischen hast du nicht recht. Weil z.b. der Punkt
(x,y,z) = (1,1,-2) liegt drinnen aber (2,1,-2) nicht. Und hier hat man ja keine Quadranten sondern Wuerfel praktisch.

Hab so ueberlegt.

Fall1: x,y,z negativ = Wuerfel alles enthalten.

Fall2: x,y,z positiv = ausgeschlossener Wuerfel

Fall3: 2 positiv, 1 negativ (z.b. +x,+y,-z oder +x,-y,+z , ... )
Fall4: 1positiv, 2 negativ

bei 3 u. 4 ergeben sich raeumliche "Punktwolken", kA wie man das darstellen soll.

[bluefoxx]

du sagst ja genau dasselbe!? (+x,+x,-z) liegt ja ausserhalb des quadranten, den die +x, +y, +z achsen bilden. also ist w alles ausserhalb dieses +x,+y,+z quadranten. genauso wie +x,-z,-z das liegt ja auch ausserhalb dieses quadranten. ich glaub schon, dass ich recht habe.

edit: hier noch eine (kindliche) zeichnung zum verdeutlichen, besser habe ich es nicht hinbekommen. alles was ausserhalb der positiven eben liegt ist W. und es ist deswegen kein teilraum weil es ja innerhalb aller quadranten liegen muss (R3 plus und minus).

[fago]

da bin ich andere meinung
ich stell mir das ganze als eine den ganzen raum geschnitten durch die "raumdiagonale" und alles drunter gehört dazu

dazu gekommen bin ich mit folgender überlegung:
für z=0, ergibt sich eine diagonale, durch (0,0)
für z=-1 verschiebt sich die diagonale nach oben, und analog für z=1 nach unten

[jjh]

Ich bin der gleichen Meinung wie fago.

Begruendung:
x+y+z=0 ist eine Ebene, die als normalvektor (1,1,1) hat und die durch den Nullpunkt geht. "raumdiagonale" scheint mir ein passender ausdruck.

x+y+z=-1 ist parallel zur erst genannten Ebene, nur "nach schraeg unten" versetzt. Jetzt liegt nicht mehr der Punkt (0,0,0) auf der Ebene, sondern der Punkt (-1/3, -1/3, -1/3).

x+y+z=-2 ist analog zu oben ebenfalls eine parallele Ebene, und ist ebenfalls parallel verschoben, sodass der Punkt (-2/3, -2/3, -3/3) auf der Ebene liegt.

=>
x+y+z <= 0 ist die Menge aller Ebenen, die parallel zur Ebene x+y+z=0 in die Richtung (-1,-1,-1) verschoben sind.

Man koennte x+y+z <= 0 also auch als die Menge der Punkte beschreiben, die in der linken, unteren Haelfte des Raumes liegen. Das ist zwar nicht sehr mathematisch formuliert, dafuer glaub ich recht anschaulich.

[comar]

ich stimme jjh und fago zu. Es ist einfacher wenn man sich das in R2 vorstellt. Dort ist x+y=0 die Diagonale von rechts oben nach links unten verläuft. x+y<=0 ist dann die Halbebene - alles was unter dieser Diagonale liegt.
In R3 ist es das selbe. x+y+z=0 ist die Raumdiagonale (eine Ebene, die schräg durch den Raum und durch den Nullpunkt verläuft) und x+y+z<=0 ist dann alles, was drunter liegt - ein Halbraum (IM GEOMETRISCHEN SINNE GEMEINT - Analogie zur Halbebene - hat nichts mit Teilraum der Mengenlehre zu tun!!!).
Geometrisch gesehen ist es also ein Teil des Raumes R3, aber kein mathematischer Teilraum (Beweis - siehe Bluefoxx)

[bluefoxx]

stimmt! :) DG ist auch schon lange her und das mit der ebenennormalen hätte ich mir auch selbst überlegen können. egal. alles was unter dieser raumdiagonalen liegt ist W - korrekt.

comar: du meinst x+y=0 ist die linie die von links oben nach rechts unten verläuft oder? :)