Bsp. 95

[bluefoxx]

so, hier sollen wir zeigen, dass W Teilraum der Vektorraumes V über K ist.

im buch habe ich da so einige definitionen gefunden. da sagen sie einmal, dass W teilraum von V ist, wenn <W,+,K> auch ein vektorraum ist. also einfach G1 bis G5 zeigen. dann steht dort es genügt auch zu zeigen, dass

(1) a - b € W, f.a. a,b € W (wobei a und b wieder Vektoren sind) und
(2)lambda*a € W, f.a. lamdba € K und a € W

das ist ja wieder trivial :D

also

(1) (x,y,z) - (a,b,c) ist sicherlich wieder € aus W und
(2)lambda*(x,y,z) sicherlich auch....

aber wieder kommt mir das hier zu einfach und instabil vor, um es an der tafel vortragen zu können/sollen...

plz feedback, thx :shinner:

[somecallmeboris]

i befürcht fast, des is a bissal zu einfach... aber andere idee hab i auch keine :confused:
die beispiele 95-98 unterscheidn sich aber nur durch diese angabe ganz rechts, in dem fall halt x = 2y... also denk i mir, kann man das sicherlich nit ganz ausser betracht lassn.

[somecallmeboris]

okay, ich hab vielleicht doch eine idee: die lösung von 97 ist im donnerstagsforum gepostet, und wer die versteht, wird 95 auch schaffen.

[bluefoxx]

na dann werd ich mir die mal ansehen! :)

[Astrape]

Kann es sein dass W kein Teilraum ist? Meiner Meinung nach existiert kein Einselement..
(1,1,1) erfüllt ja nicht die Bedingung dass x=2y ist.

[bluefoxx]

aaahhhh, jetzt glaub ich erst die angabe kapiert zu haben. heisst es, dass die x-koordinate doppelt so groß wie die y-koordinate sein soll?

[guan]

hab mal die idee von somecallmeboris aufgegriffen und für bsp 95 angewendet:

1. abgeschlossenheit bezüglich +

L: (x , y , z ) + (r , s , t ) = R: (x + r, y + s, z + t)
für x setzen wir links 2y ein (da x = 2y bzw. r = 2s)
L: (2y , y , z ) + (r , s , t ) = (2y + 2s, y + s , z + t)
R: für (x+r) setzen wir 2 * (y+s) ein (wieder x = 2y)
R: (2y+2s, y+s, z+t)
-> Abgeschlossen

2. abg. bez. *
L:a(x,y,z) = R: (a*x, a*y, a*z)
L: a(2*y,y,z) = (2*y*a, y*a, z*a)
R: (a*x) wird ersetzt durch 2*(a*y)
R: (2*a*y,a*y,z*a)
->Abgeschlossen

=> Teilraum

(Wenn das so stimmt, wärs einfach)

[somecallmeboris]

@bluefox:
ja genau, d.h. in W sind nur jene vektoren enthalten, welche die angegebene bedingung (in diesem fall x-koordinate doppelt so gross wie y, oder so ähnlich) erfüllen.

@guan:
jep, das wäre meine idee gewesen.

[batman]

auch da hat sich offenbar der lustige fehler durchgeschummelt:

für einen teilraum muss laut buch s. 80 gelten:

1) a-b € U f. a. a, b € U
2) l * a € U f. a. l € K, a € U

der fehler liegt bei 1). ihr rechnets da alle a+b. macht eh selten an unterschied, aber an der tafel wärs halt doch peinlich.

[guan]

zur info:

auf http://www.iti.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/grundlagen/vektorrm.htm
findet sich diese definition:

Def: Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Eine Teilmenge U <= V heisst Teilraum von V, wenn gilt:
u+v element U für alle u,v elment U
k.u element U für alle u Element U, k element K

[gai-jin]

im buch vom baron stehts da bissi anders
W ist teilraum wenn a +(-b) wieder element von W
also kurz gesagt a- b

[Raiden]

Ich habs auch laut Baron-Buch ueberprueft.

Einfach a - b ausrechnen und zeigen das das verhaeltnis x/y immernoch 2 ist. Dann muss es wieder in W enthalten sein.
Das gleiche mit lambda*a.

[fago]

Kann es sein dass W kein Teilraum ist? Meiner Meinung nach existiert kein Einselement..
(1,1,1) erfüllt ja nicht die Bedingung dass x=2y ist.

wozu benötigst du ein einselement..?

das einheitselement von <W,+> ist der nullvektor, kein problem

[jjh]

Hab das oben geschriebene zusammengearbeitet...
Hier also eine loesung.

Wie auch schon von batman gepostet:
Laut Baron's Buch S.80 ist ein Vektorraum W Teilraum von V genau wenn
1.) a + (-b) Element aus W f.a. a,b aus W
2.) lamda*a Element aus W f.a. lamda aus K, und alle a aus W


Zur 1. Bedingung)
Zu zeigen dass a + (-b) Element aus W f.a. a,b aus W

a = (x, y, z) = (2y, y, z)
b = (a, b, c) = (2b, b, c)
b' = (-2b, -b, -c)

Es muss also gelten:
(2y, y, z) + (-2b, -b, -c) = (2y-2b, y-b, z-c) Element aus W
Das ist gewaehrleistet weil (2y-2b, y-b, z-c) die Form (2y, y, z) hat.


Zur 2. Bedingung)
Zu zeigen dass lamda*a Element aus W f.a. lamda aus K und alle a aus W
lamda sei im Folgenden abgekuerzt mit L

Es muss gelten:
L * (2y, y, z) = (2Ly, Ly, Lz) Element aus W
Das ist gewaehrleistet weil (2Ly, Ly, Lz) die Form (2y, y, z) hat.


Es folgt: W ist ein Unterraum von V

[spooky]

hallo

kann mir möglicherweise noch wer erklären warum das ein Beweis ist? Ich versteh das nicht ganz (oder gar nicht).

naja, wie immer halt....

[jjh]

Spooky> Ich versteh das nicht ganz (oder gar nicht). Was denn genau verstehst du nicht?

Wenn ich nicht falsch liege ist es naemlich eigentlich recht simpel:
Wir muessen zeigen, ob W ein Teilraum von V ist. Die Kriterien dafuer, wann etwas Teilraum eines Vektorraums ist, stehen im Buch. Wenn wir zeigen koennen, dass die erfuellt sind, ist W ein Teilraum von V.

:thumb:

[spooky]

Es muss also gelten:
(2y, y, z) + (-2b, -b, -c) = (2y-2b, y-b, z-c) Element aus W
Das ist gewaehrleistet weil (2y-2b, y-b, z-c) die Form (2y, y, z) hat.

warum ist das ein Beweis? Ich meine Damit die 3te Zeile.

[weBz]

weli, wenn die x koordinate doppelt so gross wie die y is, dann liegts in W