Bsp 91

[bluefoxx]

Hi,

habe mich mal überwunden heute ein bissl was zu machen, bin mir natürlich nicht sicher ob es richtig ist, wie immer :)

also folgendes muss gelten, dass wir einen Vektorraum vorfinden:

<V,+> muss eine abelsche Gruppe bilden, und für jedes lambda (ich schreibe in weiterer Folge "l") aus K (Körper über dem V Vektorraum ist) muss gelten:

1) l*(a+b) = l*a + l*b
2) (lambda + mjiu)*a = lambda*a + mjiu*a
3) lambda*(mjiua*a) = (lambda*mjiu)*a
4) 1*a = a

wobei a und b vektoren aus V sind

so wir fangen mal mit <V,+> an:

G1: ist gegeben

weil: (x1,x2) und (y1,y2) aus V sind und deren Summe (x2+y1, x1+y2) auch aus V ist. (ich schreibe hier nur noch a,b,c... für die vektoren auf).

G2: ist gegeben weil:

(a+b)+c = a+(b+c) - trivial oder?! :D

G3: ist gegeben weil:

a+(0,0) = (0,0)+a = a also ist hier der Nullvektor unser einheitselement.

G4: ist gegeben weil:

jeder Vektor a hat einen inversen Vektor a' - in unserem Fall wäre für a immer (-a) das inverse Element, da die Addition a+a' Null als Ergebnis hat, welcher ja wieder unser Einheitselement aus G3 ist, also

(3,2) + (-3,-2) = (0,0)

G5 ist auch gegeben, weil

a + b = b +a

z.b.

(-3,-2) + (2,5) = (2,5) + (-3,-2) = (-1,3)

also haben wir hier eine abelsche Gruppe vorliegen.

so nun müssen wir uns das lambda zeugs betrachten, und hier stehe ich an. wie ich das beweisen oder zeigen soll ist mir ein rätsel. es ist logisch, dass alle oben 4 genannten bedingungen gelten werden, aber ob das ausreicht wenn man das an der tafel sagt?

wie immer kritik, wünsche, beschwerden erwünscht. ich bin mir wie gesagt nicht sicher ob mein lösungsweg so richtig ist. thx für eure hilfe ;)

[spitzi_pezi]

ICh hab mir das Bsp. 91 schon mal angeschaut und bin aufs selbe gekommen .... :thumb:

Das mit dem, wie du so schön gesagt hast, lambda zeugs :D .... ich denke das der Beweis, wie bei G2, einfach trivial ist .... weil punkt 1-4 einfach logisch sind --> ich wüßte nicht wie man das extra noch beweisen sollte!?!?

Also meinen Segen hast du zu dem Bsp.! :engel:
Wobei... ich mir auch nie ganz sicher bin ob das dann 100%ig stimmt!

MFG

[bluefoxx]

ok, kann ich das schriftlich haben, weil dann mach ich dich verantwortlich dafür, wenns dem prof. wiesenbauer nicht passt :D spass beiseite, ja ich weiss auch nicht wie ich das nun wirklich explizit beweisen sollte... btw. ich hab nen thread zu bsp. 95 erstellt, hätte da auch noch das ein oder andere problem.

[guan]

ist das inverse element im falle von (3,2) nicht (-2, -3)?
wir haben ja:
(x1,x2) + (y1,y2) = !!(x2 + y1, x1 + y2)!!
d.h.
bei
(3,2) + (y1,y2) = (2 + y1, 3 + y2) = (0,0)
-> y1 = -2 und y2 = -3

??
lieg ich da komplett falsch?

[Musti]

> z.b.
> (-3,-2) + (2,5) = (2,5) + (-3,-2) = (-1,3)

In dem von Bluefox vorgeschlagenen Loesungsweg wird ein Beispiel gebracht, das nicht notwendig ist, weil G5 nicht nur fuer einzelne zahlen, sondern allgemein gezeigt werden muss!

[spitzi_pezi]

hhmm...

und wie zeigst du das allg.?

[Musti]

Seien a = (m,n) und b = (x,y) Vektoren in V
m,n,x,y aus R weil V ein Vektorraum auf R2

G5: Es ist zu zeigen: a+b =? b+a
Also (m,n) + (x,y) =? (x,y) + (m,n)

Laut Angabe wird die Summe elementweise gebildet, also:
(m+x, n+y) =? (x+m, y+n)

Die Addition von reellen Zahlen ist kommutativ, deshalt gilt:
m+x = x+m und
n+y = y+n

=> Daher ist bewiesen dass
a+b = b+a <=> (m+x, n+y) = (x+m, y+n)

Mit anderen Worten: Es gilt G5.

[batman]

hmm. soweit bin ich jetzt auch amal gekommen. dann hab ich weiter gemacht und gesagt:

(lambda = l)

l * (a+b) muss ja gleich l*a + l*b sein. das heißt, konkret müsste gelten:

l * [(x1, x2) + (y1, y2)] = (l*x1, l*x2) + (l*y1, l*y2) na?

wenn man sich aber jetzt die linke seite vereinfacht, also mal die klammer ausaddiert, kommt man - lt. angabe - auf:

l* (x2+y1, x1+y2)

schlussendlich erhält man nach mutliplikation folgendes paar:

[l*(x2+y1), l*(x1+y2)] was meiner meinung nach nicht der oben notierten rechten seite entspricht. is damit das beispiel beendet, weil das schon nicht stimmt? oder hab ich falsch gerechnet? oder sonstwas? danke für kommentare

[marX]

Laut Angabe wird die Summe elementweise gebildet, also:
(m+x, n+y) =? (x+m, y+n)

falsch! (aber fast)
laut angabe:

1. (x1,x2)+(y1+y2)=(x1+y2,x2+y1)
2. (y1,y2)+(x1,x2)=(y1+x2,y2+y1)

da addition kommutativ 1.=2. :)

[marX]

@batman

also ich seh das so:

l*(a+b) =? l*a + l*b

LS: l*(x1+y2,x2+y1) = (l*(x1+y2), l*(x2+y1))
RS: l*(x1,x2) + l*(y1,y2) = (l*x1,l*x2) + (l*y1,l*y2) = (l*(x1+y2),l*(x2,y1))

somit gilt 1)

mfg marX

[guan]

falsch! (aber fast)
laut angabe:

1. (x1,x2)+(y1+y2)=(x1+y2,x2+y1)
2. (y1,y2)+(x1,x2)=(y1+x2,y2+y1)

da addition kommutativ 1.=2. :)
es geht um beispiel 91 (nicht 92) damit sollte folgendes gelten:
1. (x1,x2)+(y1+y2)=(x2+y1,x1+y2)
2. (y1,y2)+(x1,x2)=(y2+x1,y1+x2)

und ich hätte dann aber gesagt, dass da gar nichts kommutativ ist. aber natürlich alles ohne gewähr.

[batman]

marx,

absolut richtig, hab ich nicht gesehen. danke.

[marX]

es geht um beispiel 91 (nicht 92) damit sollte folgendes gelten:
1. (x1,x2)+(y1+y2)=(x2+y1,x1+y2)
2. (y1,y2)+(x1,x2)=(y2+x1,y1+x2)

und ich hätte dann aber gesagt, dass da gar nichts kommutativ ist. aber natürlich alles ohne gewähr. hm ich hab mir das nochmal angschaut und bin zum schluss gekommen, dass das wirklich nicht kommutativ ist (da vektor (1,0) ja nicht gleich vektor (0,1) ist), und G2 ist desshalb absolut nicht trivial, sondern gilt NICHT !! oder ?!!

mathe bringt mich zur verzweiflung :distur:

mfg marX

[duracell]

ok.. mal schaun, bin selber erst wieder anfänger in mathe. das beispiel sollte zumindest stimmen. freu mich über jede hilfreiche anmerkung:

<R2, + >
---------
G1 (Abgeschlossenheit) = wahr
x, y ex R2 => x + y ex R2, da x1, x2, y1, y2 ex R

Wenn die Vektoren x und y aus R2 dann folgt daraus, dass auch der Vektor x + y aus R2, da die skalaren Komponenten x1, x2, y1, y2 Elemente aus R sind.

G2 (Assoziativität) = falsch
(x + y) + z = x + (y + z) f.a. x, y, z ex R2

Beweis (als Grundlage dient die kreuzweise Addition der skalaren Komponenten):
LS: (x + y) + z =
= [(x1 + y2), (x2 + y1)] + z =
= [(x1 + y2) + z2], (x2 + y1) + z1]

RS: x + (y + z) =
= x + [(y1 + z2), (y2 + z1)] =
= [x1 + (y2 + z1), x2 + (y1 + z2)]

=> LS != RS

G3 (Existenz eines neutralen Elements für alle x ex R2) = falsch
x + e = e + x = x

Es existiert kein neutrales Element, da die Kommutativität nicht gegeben ist.

G4 (Existenz eines inversen Elements für jedes x ex R2) = falsch
x + x' = x' + x = e

Es existieren keine inversen Elemente, da die Kommutativität nicht gegeben ist.

G5 (Kommutativität) = falsch
x + y = y + x f.a. x, y ex R2

Schaun wir uns das mal mit den skalaren Komponenten der Vektoren an:
LS: (x1, x2) + (y1, y2)
RS: (y1, y2) + (x1, x2)

Wenn wir die Seiten nach der Regel der Addition aus der Angabe auflösen:
LS: (x1 + y2, x2 + y1)
RS: (y1 + x2, y2 + x1) = (x2 + y1, x1 + y2)

Wie man sieht, ist LS != RS, da die skalaren Komponenten seitenverkehrt sind.

<R2, x >
---------

Da <R2, + > keine Abelsche Gruppe bildet, muss die skalare Multiplikation nicht mehr bewiesen werden.

[gai-jin]

@marX da hast gerade ein blödes bsp genommen da das inverse vektor vom (1,0) ,
(0,1) ist *g*

[nebo]

LS: (x + y) + z =
= [(x1 + y2), (x2 + y1)] + z =
= [(x1 + y2) + z2], (x2 + y1) + z1]

RS: x + (y + z) =
= x + [(y1 + z2), (y2 + z1)] =
= [x1 + (y2 + z1), x2 + (y1 + z2)]

=> LS != RS
Die Schreibweise finde ich etwas kompliziert, aber ich würde auch sagen, dass G2 NICHT gilt d.h. man muss eigentlich gar nicht weiterrechnen.
Es kann kein Vektorraum über R sein.

[marX]

@marX da hast gerade ein blödes bsp genommen da das inverse vektor vom (1,0) ,
(0,1) ist *g*
sicher ist das der inverse vektor, aber es ist trotzdem nicht assoziativ!
wenn man den vektor als komplexe zahl betrachtet stimmt zwar der betrag überein, aber nicht die "winkel-komponente"...

mfg marX

[Raiden]

komme zu den selben ergebnissen wie duracell!

G2 nicht erfuellt, daher keine abelsche Gruppe

[bluefoxx]

jop, habs mir auch noch einmal angesehen. passt so wie ihr sagt. G2 ist nicht erfüllt. habe einfach die angabe blind überlesen bei meinem ansatz... shame on me :)

[spooky]

hmm... aber eigentlich würde doch G3 existieren, da für G3 G2 keine Vorraussetzung ist. Und wurde bei G2 nicht falsch zusammen addiert? Laut Angabe wird es ja anders zusammen addiert!?!?!?

[spooky]

ok G3 gilt doch nicht :)

[comar]

ich bin auch zu dem Schluss gekommen, dass G2 nicht erfüllt ist.
wählen wir z.B. x=(10,1), y=(1,10) und z=(10,1)

so ist dann (x+y) = (2,20) und (x+y)+z dann (2,20) + (10,1) = (30,3)

aber (y+z) = (20.2) und x+(y+z) ist dann (10,1) + (20,2) = (21,12) was eindeutig ungleich (30,3) ist.

Somit ist bewiesen, dass (x+y)+z ungleich x+(y+z) => G2 nicht erfüllt => <R2,+> keine Gruppe => <R2,+,R> kein VR

[Stephe]

und wenn G2 nicht erfüllt ist kann man sich den ganzen Ärger mit den restlichen G's sparen und einfach nicht mehr weiterrechnen, da man ja schon bewiesen hat, dass es kein VR ist.

warum also weiterrechnen? :D