View Full Version : [Frage] Bsp 46
Laut Angabe bekommt man durch die L-Transf. eine lin. DGL 1.O.
Bei mir: Y'(s) - Y(s) * (s^2-s'-1) / s = -(1/s)
Ist dieses s' = 1 ?
Oder ist das sowieso alles falsch, was ich da mache? :distur:
Matthias
14-11-2004, 11:39
Das geht anders, siehe Buch S74, Beispiel 4.
Du schreibst die Angabe folgendermaßen um:
L(y'') -d/ds L(y') - L(y) = 0
L(y'') = s^2 Y(s) - 1 (AWPs einsetzen)
L(y') = sY(s) ... das abgeleitet ist Y(s) + s Y'(s)
L(y) = Y(s)
also
s^2 Y(s) - 1 - Y(s) - s Y'(s) - Y(s) = 0
umformen, Y_h und Y_p ausreichnen (Trennung der Variablen, Variation der Konstanten ...).
Y_h = c* exp(s^2/2) / s^2
Y_p = 1/s^2
Bei Y_h muss c = 0 sein (wegen diesem limes Hinweis in der Angabe und weil man das gar nicht rücktransformieren könnte).
Daher ist y = t. Probe damit machen: passt.
Das war auch meine Vorgehensweise, war mir nur nicht sicher, ob ich dieses s als "normale" Variable betrachten kann.
[EDIT] Hab mich nur verrechnet.
Das war auch meine Vorgehensweise, war mir nur nicht sicher, ob ich dieses s als "normale" Variable betrachten kann.
Klar, Du befindest Dich zwar im Bildbereich, hast aber eine "stinknormale" DGL Y'=f(Y,s), wo alles, was vorher war, wurscht is ;) Kannst also wie gewohnt alles nach s ableiten.
Wie kommt ihr bei der Partikulären auf yp = 1/s^2? Wenn bei der Homogenen(bei der bei mir dasselbe rauskommt) c = 0 ist, dann ist ja die gesamte Lösung yh = 0, also kommt bei mir bei der partikulären nur raus -1/s = 0 => s = 0, was natürlich nicht stimmt. Wo mach ich da was falsch? Wenn ich die Konstante nicht 0 setze, und die Partikuläre zuerst berechne, bleibt die Konstante über... Kann mir mal jemand einen Denkanstoß geben??
Danke!
Du mußt die Partikulärlösung berechnen, bevor Du die Konstante c berechnest...
y_h = c*e^(s^2/2)*1/(s^2)
Variation der Konstanten:
y_p = c(s) * e^(s^2/2)*1/(s^2)
c'(s) = (-1/s) / (e^(s^2/2)/(s^2)) = - s / (e^(s^2/2))
=> c(s) = 1 / (e^(s^2/2))
=> y_p = 1 / (e^(s^2/2)) * e^(s^2/2)*1/(s^2) = 1/(s^2)
Somit ist y = c*e^(s^2/2)*1/(s^2) + 1/(s^2)
Und jetzt halt c mit dem Grenzwert berechnen...
grassi3000
18-11-2004, 23:29
Wie kommt ihr bei der Partikulären auf yp = 1/s^2? Wenn bei der Homogenen(bei der bei mir dasselbe rauskommt) c = 0 ist, dann ist ja die gesamte Lösung yh = 0, also kommt bei mir bei der partikulären nur raus -1/s = 0 => s = 0, was natürlich nicht stimmt. Wo mach ich da was falsch? Wenn ich die Konstante nicht 0 setze, und die Partikuläre zuerst berechne, bleibt die Konstante über... Kann mir mal jemand einen Denkanstoß geben??
Danke!
Das selbe Problem hab ich auch ... wäre für ne erklärung dankbar ...
Edit: Bei mir fällt bei Var der Constanten das C(x) net weg ... das ist mein problem, da ich den term einmal /s und einmal /s^2 hab ... und nachgerechnet hab ich es schon mehrmals.
ja, genau mein Problem. Fällt einfach nicht weg...
Versteh das Problem nicht, siehe mein Posting oben...es fällt ja auch nicht weg, sondern man berechnet es ? (Btw, es ist c(s), nicht c(x))
c'(s) = b(s) / y_h (y_h ohne das c)
Versteh das Problem nicht, siehe mein Posting oben...es fällt ja auch nicht weg, sondern man berechnet es ? (Btw, es ist c(s), nicht c(x))
c'(s) = b(s) / y_h (y_h ohne das c)
soll heißen, du berechnest es nicht direkt über die Variation der Konstanten mit --((s^2-2)/s)*C(s)*y_h + C'(s)y_h + C(s)y_h' = -1/s (bei dem bleibt mir nämlich sowohl C(s) als auch ein C'(s) über)? Wie kommst du auf das andere? Oder hängen wir einfach furchtbar falsch in der Variation drin und machen da was falsch?
Hm, keine Ahnung was ihr da tuts ;)
Also ich geh von der DGL
F'(s) - (s^2-2)/s*F(s) = -1/s
aus und behandel das als ne stinknormale DGL 1. Ordnung. Somit is mein a(s) = -(s^2-2)/s und mein b(s) = -1/s (und y(s) = F(s))
y_h(s) = c*e^-(int a(s) ds)
Dann Partikulärlösung mit Variation der Konstanten (c wird zu c(s))
y_p(s) = c(s) * y_h(s)
(die 1000 Umformungsschritte aus der VO laß ich weg, die folgende Formel is auch einfach so für lin. DGL 1.Ord., das kann man so akzeptieren ;))
=> c'(s) = b(s) / y_h(s)
wobei das y_h(s) wie gesagt ohne das c genommen wird.
Da setz ich dann ein, form um, integrier, dumdidum, funktioniert.
Das selbe Problem hab ich auch ... wäre für ne erklärung dankbar ...
Edit: Bei mir fällt bei Var der Constanten das C(x) net weg ... das ist mein problem, da ich den term einmal /s und einmal /s^2 hab ... und nachgerechnet hab ich es schon mehrmals.
Hi!
Du musst das c für die Berechnung vom inhomogenen Teil noch dabei lassen.
y' = (e^(s^2/2)* (c*s^2 + c'*s - 2c))/s^3
das dann einsetzen und alles auf einen Bruch bringen und dann kommt man auf sowas:
(e^(s^2/2)* s^2*c + e^(s^2/2)*c'*s - e^(s^2/2)*2*c - s^2 * e^(s^2/2) * c + 2*e^(s^2/2)*c)/s^3 = - 1/s
und da fallen dann alle c weg und es bleibt:
(e^(s^2/2)* c' * s)/s^3 = - 1/s
...und dann gehts halt weiter...
hoffentlich hab ich mich jetzt net irgendwo vertippt :shinner:
Wieso machts ihr die Variation der Konstanten alle so kompliziert ? :)
grassi3000
19-11-2004, 01:37
Hi!
Du musst das c für die Berechnung vom inhomogenen Teil noch dabei lassen.
y' = (e^(s^2/2)* (c*s^2 + c'*s - 2c))/s^3
das dann einsetzen und alles auf einen Bruch bringen und dann kommt man auf sowas:
(e^(s^2/2)* s^2*c + e^(s^2/2)*c'*s - e^(s^2/2)*2*c - s^2 * e^(s^2/2) * c + 2*e^(s^2/2)*c)/s^3 = - 1/s
und da fallen dann alle c weg und es bleibt:
(e^(s^2/2)* c' * s)/s^3 = - 1/s
...und dann gehts halt weiter...
hoffentlich hab ich mich jetzt net irgendwo vertippt :shinner:
Mja, ... ich hab das eh so gemacht, nur fallt bei mir das c nicht weg, da es unterschiedliche koeffizienten hat ... (die koeffizienten stimmen)
@Dose
Wie machst du dann Var d. Konstanten, wenn nicht so.
Um die Homogene Gleichung geht es uns hier ja nicht, da wir die alle eh zusammenbringen...
Wie gesagt, ich setz einfach in die gottgegebene ;) Formel für c'(x) = b(x)/y_h(x) ein.
Die haben wir ja auch in der VO hergeleitet: man setzt den Ansatz y_p(x) = c(x)*y_h(x) in die allgemeine Form der DGL ein (ich glaub das is das, was ihr dann mit den Ausdrücken selbst machts, is aber eigentlich zu viel Aufwand):
DGL: y' + a(x)*y = b(x)
hom. DGL: y' + a(x)*y = 0
part. Ansatz: y_p = c(x)*y_h
einsetzen in DGL: c'(x)*y_h + c*y_h' + a(x)*c(x)*y_h = b(x)
=> umformen: c'(x)*y_h + c(x)*[y_h' + a(x)*y_h] = b(x)
Das in eckigen Klammern entspricht ja genau der hom. DGL (weil y_h eine Lösung für die DGL ist), das kann man daher 0 setzen, somit fällt der Term weg und es bleibt c'(x)*y_h = b(x) und das kann man genau auf das umformen, was ich hier predige ;)
Das ganze is also eine allgemeine Formel um c'(x) der Partikulärlösung bei Variation der Konstanten zu berechnen, da der der hom. DGL entsprechende Term ja unabhängig von den speziellen Ausdrücken immer wegfällt, falls man eine lin. DGL 1. Ordnung hat (was ja der Fall ist).
grassi3000
19-11-2004, 02:00
ah ... jetzt check ich das was ihr meints ... thx!!
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