Bsp. 86

[bluefoxx]

hm, kann mir jemand erklären, was Z2 bzw Z4 aus der angabe bedeuten sollen? finde diesbezüglich nix im buch oder sonst wo. ich habe mal versucht das bsp zu lösen, aber ohne mal die angabe vollständig verstanden zu haben, bin ich mir ca 10% sicher, dass es stimmt :D

erster Fall:

1+2a = 1
1+2b = 3

(überall ausser beim 2er gehört ein Querstrich oben drauf)

als Lösungen ergeben sich bei mir für a=0 und b=1 also <0,1> als ergebnis. richtig? oder ganz falsch :distur:

[Paulchen]

die idee wirkt ja gar nicht mal so schlecht.
Z2 und Z4 sind die Restklassenringe modulo 2 bzw. 4, deren Grundmengen jeweils die Menge der Restklassen mod 2 bzw. 4, wenn du verstehst, was ich meine...

nachdem bsp. 88 ja irgendwie ähnlich ist, kannst du dir ja meinen vorschlag für dieses beispiel ansehen (ab 15 uhr kann ich dann posten, ob das so hinhaut oder nicht):
http://stud4.tuwien.ac.at/~e0425426...ispiel%2088.pdf (http://stud4.tuwien.ac.at/%7Ee0425426/Mathebeispiele/Beispiel%2088.pdf)

<0,1> ist auf jeden in bsp. 86 auf jeden fall eine lösung, <1,1> ist aber auch eine lösung, da a ja in Z2 liegt und bekanntlich im rahmen der restklassenmultiplikation 2*1=0 ist, da 2 kongruent 0 mod 2 ist.

ergänzend kann man erwähnen, dass a natürlich eine beliebige ganze zahl sein kann, da eine ungerade zahl immer kongruent 1 mod 2 und eine gerade zahl immer kongruent 0 mod 2 ist.
b kann dementsprechend jede zahl sein, die mit 2 multipliziert kongruent 2 mod 4 ist, d. h. 2*b kongruent 2 mod 4, also z. B. b=3: 2*b=6; 6 ist kongruent 2 modulo 4, d. h., b=3 ist auch zulässig.

ich hoffe, das stimmt jetzt alles im wesentlichen, was ich da von mir gegeben habe, wenn schwachsinn dabei ist, bitte laut aufschreien!!!

[Paulchen]

Wichtig ist bei dem Beispiel auch Folgendes:
2*<a,b> ist ja nirgendwo definiert!
Da lediglich die Addition definiert ist, muss man das als <a,b>+<a,b> schreiben!!!

[guan]

ich habe folgende lösungen rausbekommen:
1) 1(quer) + 2a = 1(quer)
2) 1(quer) + 2b = 3(quer)

1) 2a = 0 (quer)
2) 2b = 2(quer)

da 2b mod 4 = 2 mod 4 -> b = 1 bzw. b = 3
und 2a mod 2 = 0 mod 2 -> a = 0 bzw. a = 1

und damit
a=0,a=1
bzw. b=1,b=3

kann das stimmen? und heisst das jetzt, man hat folgende lösungen:
<0,1> <0,3> <1,1> <1,3> ? oder hab ich da was vollkommen falsch verstanden?

[Paulchen]

sieht so aus, als würde das hinhauen

[bluefoxx]

muessen wir nicht 2b mod 2 und 2a mod 4 auch beachten? irgendwie verstehe ich im moment nur bahnhof :(

[Paulchen]

wenn ich das richtig verstehe, dann kann man das folgendermaßen entkräften:
Wenn a kongruent c mod m und b kongruent c mod m, dann ist a+b kongruent mod m. Es ist also egal, ob man zuerst den rest bildet und dann addiert oder zuerst addiert und dann den rest bildet.
ist es das, was du meinst?

[fago]

muessen wir nicht 2b mod 2 und 2a mod 4 auch beachten? irgendwie verstehe ich im moment nur bahnhof :(

das erste element im tupel ist immer € Z2, und analog das zweite immer € Z4, und somit nein
-> so hab ich das verstanden ;)

wäre die multiplaktion nicht definiert, könnten wir das beispiel schlecht lösen.
mit <a,b>+<a,b> = 2*<a,b> benutzt man ja nur die definition dafür...

demnach sollte das beispiel ganz normal lösbar sein ->
ich erhalte 4 mögliche lösungen für x
Zahlen unten sind jeweils restklassen
<0,1>
<1,1>
<0,3>
<1,3>

nur wozu ist dann gegeben "jeweils mit der restklassenaddition" ??

[fago]

nur eins ist mir nicht so ganz klar:
da werden doch restklassen mit "normalen zahlen" gemischt, darf man das denn so?
oder ist die angegebene gleichung eh auch in restklassen geschrieben, da in M sowieso nur restklassen enthalten sind?

[Raiden]

Ich glaube das sind alles Restklassen auch die "2" bei 2*x weil in M ja nur Paare von Restklassen sind.