Bsp 40

[Dieli]

Abend!
Hab nur mal La Place gemacht. Was meint er mit Ansatzmethode??? Ansatz vom Typ der rechten Seite???

Unsere Gleichung transformieren wir mal:
s^2*Y(s)-s*y(0)-y'(0)-3*(s*Y(s)-y(0))+2*Y(s)=6*1/(s+1)
Umformen auf:
Y(s)=6/((s-1)*(s+1)*(s-2))-9/(s-1)+5/((s-1)*(s-2))
Das erste steht nicht in der Tabelle (Faltung).
Das zweite: -9*e^t
Das dritte: (e^t-e^2t)/(1-2)

Das erste: 6/((s^2-1)*(s-2)) mittels Faltung. 1/(s^2-1) transformiert=sinh(t). 1/(s-2) ist e^2t.
Int(0 bis t) von ((e^2tau)*sinh(t-tau))d tau
=2cosh(t)-6e^2t
Die einzelnen Rechenschritte sind dem geneigtem Leser als Übung empfohlen :devil:

Fertig.

mfg Dieli

[Matthias]

Ja, es ist der Ansatz der rechten Seite gemeint. Damit kommt man schnell auf das Ergebnis
y = e^(-x) - 27 e^x + 17 e^(2x)

Mit Laplace komme ich auf das selbe Ergebnis, du hast anscheinend bei der Partialbruchzerlegung einen Fehler.

s^2*Y(s)-s*y(0)-y'(0)-3*(s*Y(s)-y(0))+2*Y(s)=6*1/(s+1) hab ich auch noch so.

Dann setze ich die Anfangswerte ein und komme nach hin und her rechnen auf
Y(s) (s^2 - 3s + 2) + 9s - 33 = 6/(s+1)

Ich drücke mir das Y(s) aus, bringe alles auf selben Bruch usw. usf.:
Y(s) = (39 - 9 s^2 + 24s) / ((s+1)(s^2 - 3s +2))

(s^2 - 3s +2) entspricht (s-1)(s-2).
Also Partialbruchzerlegung mit dem Ansatz:
a/(s+1) + b/(s-1) + c/(s-2)

Nullstellen sind daher -1, 1 und 2. a, b und c mit der "Zuhaltemethode" bestimmen, das geht für a zB so: alles mit (s+1) multiplizieren und dann s = -1 setzen (das ist die dortige Nullstelle).

Partialbruch ist dann
1/(s+1) - 27/(s-1) + 17/(s-2)

Damit dann die "inverse Laplace Transformation" und wir kommen wieder auf
y = e^(-x) - 27 e^x + 17 e^(2x)

[Geblubeo]

wir kommen wieder auf
y = e^(-x) - 27 e^x + 17 e^(2x)aye, das krieg ich auch raus

[Tassadar]

also die laplace transformation is mir klar, aber kann mir wer bitte ganz kurz erklären wie das mit dem ansatz funktioniert. ich brauch auch keine detaillierte beschreibung, nur ein, zwei sätze, damit ich nhe idde krieg was ich machen soll.

[grassi3000]

Laplace ist hier klar, nur ich hab meine Probleme beim Ansatz der rechten seite:

lt. buch lautet mein y_c = C* x^k * e^-x

Wie muss ich hier das k wählen, bzw wie ist das zu behandeln? das Kapier ich nicht.

thx

[hadesbringer]

Laplace ist hier klar, nur ich hab meine Probleme beim Ansatz der rechten seite:

lt. buch lautet mein y_c = C* x^k * e^-x

Wie muss ich hier das k wählen, bzw wie ist das zu behandeln? das Kapier ich nicht.

thx
k=0, da an der stelle -1 keine nullstelle ist

[grassi3000]

ok, bei dem ansatz krieg ich für C = 1 raus, aber ich komm nicht auf das obige ergebnis, das ihr alle habt? was mach ich da falsch? irgendwie muss ich ja auhc noch die koeffizienten -27 und 17 rauskriegen ... wie mach ich das?

(sollte man bei dem ansatz auch eine homogene glg behandeln?)

[hadesbringer]

ok, bei dem ansatz krieg ich für C = 1 raus, aber ich komm nicht auf das obige ergebnis, das ihr alle habt? was mach ich da falsch? irgendwie muss ich ja auhc noch die koeffizienten -27 und 17 rauskriegen ... wie mach ich das?

(sollte man bei dem ansatz auch eine homogene glg behandeln?)
ja, laeszt sich am besten als lineare dgl n-ter ordnung loesen (buch 126+), dann is
yh= c1*e^x + c2*e^(2x)
und dann setzt man wieder die anfangswerte ein