Beispiel 64

[Paulchen]

Sowohl für die Gruppen bis Montag als auch für jene bis Mittwoch gibt es das Beispiel 64:
http://stud4.tuwien.ac.at/~e0425426/Mathebeispiele/Beispiel%2064.pdf
Würd mich freuen, wenn wieder mehr Erkenntnisse ausgetauscht würden über dieses Forum... :coolsmile

[gai-jin]

nur eine frage

ist es nicht eher ein körper weil es gilt ja:

körper = <M\{0}, * > ab. Gruppe
und wie es im pdf file steht gibts für jedes ein inverses ausser a=0
oder irre ich mich da?

[Paulchen]

da bin ich mir nicht ganz sicher
wenn a=0 und b=0, dann komme ich auf ein Element 0+0*sqrt(4)=0
wenn aber a=0 und z.B. b=1, dann komme ich auf 0+sqrt(4)=sqrt(4)!=0, und dafür gibt es kein inverses Element, daher gilt G4 nicht =>abelsches Monoid?

[Gica]

kann das sein, dass dann 63, 64, 65 und 66 genau die gleichen Beispiele sind, nur halt M = Q{sqrt...} ??

[Paulchen]

kann das sein, dass dann 63, 64, 65 und 66 genau die gleichen Beispiele sind, nur halt M = Q{sqrt...} ??
irgendein unterschied müsste da schon sein, sonst wäre das ja sehr merkwürdig.
vielleicht ist ja der unterschied z. b. zwischen 63 und 64, dass sqrt(4)=2 ist und daher lauter rationale zahlen entstehen, sqrt(5) allerdings eine reelle zahl ist und a+b*sqrt(4) daher eine reelle zahl ist
ich weiß nur noch nicht, was das für einen unterschied macht

[Gica]

jop ich auch net ^^

[Trux]

Wie ist denn das jetzt mit dem Multiplikativeninversen? Bei Bsp 65 gibt es ja sicher keine Inverses für zB (0+1*sqrt(7)) denn die Zahl das wäre ja 1/sqrt(7) was aber nicht Teil von M ist.
Bei 64 ist aber sqrt(4)= +-2 und daher € M. Das heißt A' für A=(0+1*sqrt(4)) wäre für +2 = (0.5+0*sqrt(4)) und für -2 = (-0.5+0*sqrt(4)).
Was meint Ihr? :confused:

[Paulchen]

Urbanek hat in seinen Kommentaren zum Bsp. 64 auch erwähnt, dass dieses Beispiel ein Sonderfall ist, da immer eine rationale Zahl entsteht, wenn a+2*b gerechnet wird (auch bei a-2*b), d. h. Q ist Teilmenge von M. Umgekehrt ist M Teilmenge von Q, da sich jede rationale Zahl in der Form a+2*b ausdrücken lässt (b=0). Daher ist M=Q; <Q,+,*> (ist in der VO vorgekommen) ist ein Körper => <M,+,*> ist ein Körper.

Ist nun a+b*sqrt(7) gegeben, so ist die Angelegenheit unangenehmer: Hier muss man alles so durchrechnen wie in meiner PDF-Datei; das einzig Umfangreichere dabei kann die Ermittlung des multiplikatv inversen Elementes sein. Dazu muss man nämlich zeigen, dass 1/(a+b*sqrt(7)) auch ein Element von M ist, und das erfolgt durch Erweitern dieses Bruchs mit (a-b*sqrt(7)) wodurch man (a-b*sqrt(7))/(a²-7*b²) erhält. Das kann man natürlich zerlegen in a/(a²-7*b²)+((-b)/(a²-7*b²))*sqrt(7), was wieder ein Element von M ist. Das einzige, was dann noch zu zeigen ist, ist der Umstand, dass man nicht mit 0 erweitert (schließlich darf durch 0 ja nicht dividiert werden), d. h. dass (a-b*sqrt(7)) immer ungleich 0 ist.
Da es, abgesehen davon, für jedes Element in M ein inverses Element gibt (es sei denn, (a-b*sqrt(7))=0), ist G4 für M\{0} erfüllt, was für einen Körper ausreicht: <M\{0},*> muss eine abel'sche Gruppe sein.