3.6

[anki]

Angabe:
Eine typische Anwendung der Bayes'schen Formel liegt in der Beurteilung von Tests:
Angenommen, von 100 VLSI-Chips sind im Durchschnitt 2 defekt. Ein automatischer Labortest erkennt einen guten Chuip in 95% der Fälle, und einen defekten Chip in 94% der Fälle als solchen.

(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichekeit, daß ein als gut ausgewiesener Chip tatsächlich gut ist?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichekeit, daß ein als defekt ausgewiesener Chip tatsächlich defekt ist? Geben Sie eine Erklärung für die (überraschend?) kleine Wahrscheinlichkeit.

Ausarbeitung:
Bayes'sche Formel: P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)
-> P(A|B) = ( P(A) * P(B|A) ) / P(B)

P(gut) = 0,98
P(Test sagt gut) = 0,95
P(defekt) = 0,02
P(Test sagt defekt) = 0,94


(a) P(gut | Test sagt gut) = P(A|B) = ( P(A) * P(B|A) ) / P(B) ) =
( P(gut) * P(Test sagt gut|gut) ) / P(Test sagt gut) = (0,98*(0,95*0,98))/0,95 = 0,9604

(b) analog (a)
P(defekt| Test sagt defekt) = P(A|B) = ( P(A) * P(B|A) ) / P(B) ) =
( P(defekt) * P(Test sagt defekt|defekt) ) / P(Test sagt defekt) = (0,02*(0,94*0,02))/0,94 = 0,0004

Was meint Ihr dazu?

[Rumpl]

Sers

Ich hab mir das ähnlich überlegt, aber irgendwie schaut deine Bayessche Formel anders aus. Ich hab die aus dem Statistik Buch (vorige Auflage) und da steht sie mit der Division von einer Summe von Wahrscheinlichkeiten.

Also steht im Nenner:

SUMME (von k = 1 bis N) W(H_k) * W(A/H_k)

nur bin ich mir hier nicht sicher welche Wahrscheinlichkeiten alle aufsummiert werden, einfach alle? Oder lieg ich komplett falsch?

mfg

[EDIT] Hatte die falsche Formel, diesen Beitrag bitte ignorieren .-)

[Stella]

Also - der Ansatz oben ist falsch - kleiner Denkfehler gleich bei der Angabe - daher kommt auch die Wahrscheinlichkeit 0.0004 raus, was doch recht unwahrscheinlich ist, dass ein schlechtes eigentlich nie schlecht ist! Also hier der Denkfehler - mal kurz meine schreibweise

s... schlecht ts... test schlecht
g... gut tg ... test gut

W(s) = 0.02
W(g) = 0.98
W(ts|s) = 0.94
W(tg|g) = 0.95
W(ts|g) = 0.05
W(tg|s) = 0.06
W(tg) = ?
W(ts) = ? (diese beiden sind nicht gegeben - und da liegt der denkfehler oben!

W(tg) = W(tg|g)*W(g) + W(tg|s)*W(s) = 0.9322
W(ts) = W(ts|s)*W(s) + W(ts|g)*W(g) = 0.0384

-> einsetzen in die Formel oben
a)
W(g|tg) = 0.9987

b)
W(s|ts) = 0.4896
Warum so niedrig?
Weil die meisten gut sind und 5 Prozentig ein gutes als schlecht erkannt wird, also ca. die hälfte sind falsch erkannte gute :)

hoffe ich konnte weiterhelfen

[- TeMET_noSCE -]

hoffe ich konnte weiterhelfenja daaaannkeeeeee!!! :thumb: :thumb: :thumb:

[psycho]

W(tg) = W(tg|g)*W(g) + W(tg|s)*W(s) = 0.9322
W(ts) = W(ts|s)*W(s) + W(ts|g)*W(g) = 0.0384


Da musst dich wohl verrechnet haben, zusammen sollte das 1 sein... Ich habe 0,9322 und 0,0678

[seg2]

Ausarbeitung:
Bayes'sche Formel: P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)
-> P(A|B) = ( P(A) * P(B|A) ) / P(B)

Das ist aber nicht die Bayes´sche Formel, oder? Ich kann diese Formel nirgends auf den Folien finden.
Die Bayes´sche Formel lautet ja:
W(H_i|A) = [W(H_i)*W(A|H_i)] / [summe(k=1;n) W(H_k)*W(A|H_k)]

[_logonoff_]

was mir bei diesem beispiel sehr geholfen hat, ist, dass man das rechenbeispiel von http://de.wikipedia.org/wiki/Bayes-Theorem sehr leicht adaptieren kann.

[Pilrich]

müsste nicht

W(ts|g) = 0,06 und
W(tg|s) = 0,05

sein? Weil wenn mit 94%iger Wahrscheinlichkeit ein defekter Chip als defekt erkannt wird (W(ts|s)) dann wird mit 6%iger Wahrscheinlichkeit ein defekter Chip fälschlicher Weise als gut erkannt (W(ts|g))
Oder wo liegt hier der Denkfehler?

[psycho]

müsste nicht

W(ts|g) = 0,06 und
W(tg|s) = 0,05

sein? Weil wenn mit 94%iger Wahrscheinlichkeit ein defekter Chip als defekt erkannt wird (W(ts|s)) dann wird mit 6%iger Wahrscheinlichkeit ein defekter Chip fälschlicher Weise als gut erkannt (W(ts|g))
Oder wo liegt hier der Denkfehler?Unter der Voraussetzung, das ein Chip defekt ist, wird dieser mit 94% erkannt.
W(ts|s)=0,94
Also ist unter der Voraussetzung, das der Chip defekt ist, der Test zu 6% gut.
W(tg|s)=0,06

[Shades]

Ich erhalte fuer die

W(tg) = 0,9322

W(ts) = 0,0678

.. fuer b) erhalte ich

W(s|ts) = 0,27728

habe gleich gerechnet wie stella oben ..


kann das jem. bestaetigen?

[psycho]

.. fuer b) erhalte ich

W(s|ts) = 0,27728

habe gleich gerechnet wie stella oben ..


kann das jem. bestaetigen?
...habe ich auch so...

[mmp]

Ich erhalte fuer die

W(tg) = 0,9322

W(ts) = 0,0678

.. fuer b) erhalte ich

W(s|ts) = 0,27728

habe gleich gerechnet wie stella oben ..


kann das jem. bestaetigen?

Jupe, exakt so hab ichs auch.

[johm]

stimme ebenfalls zu so sollt das stimmen...

laut maple:

W(g|tg) = 0.9987127226
W(s|ts) = 0.2772861357

[b_UT]

Am Wiki - von dem Link oben habens auch mit einem Entscheidungsbaum gearbeitet, der das ohne der Formel realisiert. Ich versuchs mal bei den Chips:

100 chips
/ \
2 def 98 gut
/ \ / \ <- test ergibt
1.88s 0.12g 4.9s 93.1g

1.88 Chips werden von den 2 tatsächlich schlechten als solche erkannt
macht 1.88 / 100 = 0.0188

93.1 Chips werden von den 98 guten tatsächlich als solche erkannt
macht 93.1 / 100 = 0.931

[winequarter]

ok. jetzt hab ich es auch gecheckt. und dieselben ergebnisse wie Shades

[kaeptn]

Hi.
Werds nochmal langsam vorexerzieren... :)

Als Definitionen nehm ich dieselben, wie schon auf Seite 1 erwaehnt.

W(s) = 0.02
W(g) = 0.98
W(ts | g) = 0.94
W(ts | s) = 0.05
W(tg | g) = 0.95
W(tg | s) = 0.06

Bsp a)
W(g | tg) = [W(tg | g) x W(g)] / [(W(tg | g) x W(g)) + (W(tg | s) x W(s))]
= [0.931] / [0.931 + 0.0012] = 0.998712723

=> rund 99.9% der gut getesteten Chips sind wirklich gut


Bsp b)
W(s | ts) = [W(ts | g) x W(g)] / [(W(ts | g) x W(g)) + (W(ts | s) x W(s))]
= [0.0188] / [0.049 + 0.0188] = 0.277286136

=> rund 23.7% der als schlecht getesteten Chips sind wirklich schlecht


Ich hoff, damit ist es jetzt allen klar, denen's noch nicht so ganz klar war!

Bye,
Fritz

[JackOrlando]

Wieso 23,... nicht 27,... ??? :rolleyes: