Bspl 14

[arnobel]

Lineare und quadr. Approximation im Pkt (1,0)

F = 2
Fx = 3
Fy = 1
Fxx = 2
Fyy = 2
Fxy = 2
Fyx = 2

h = x-x0 = 1-x
k = y-y0 = y

linear = 3x+y-1

quadratisch = 3x+y-1 + 1/2*( 2(x-1)^2 + 4y(x-1) + 2y^2 )

[Studigel]

Hmm, ich hab da ganz andere Werte.

Kanns sein dass du mit x²*(y+1).... gerechnet hast?

[Birdland]

Lineare und quadr. Approximation im Pkt (1,0)

F = 2
Fx = 3
Fy = 1
Fxx = 2
Fyy = 2
Fxy = 2
Fyx = 2

h = x-x0 = 1-x
k = y-y0 = y

linear = 3x+y-1

quadratisch = 3x+y-1 + 1/2*( 2(x-1)^2 + 4y(x-1) + 2y^2 )
wie kommst du auf diese werte, wenn ich in die funktion den pkt (1,0) einsetze, kommt bei mit F(1,0) = 0 Fx= - 1 Fxx=-1 Fy=1 Fyy=2
und Fxy=2
oder hab ich irgendeinen denk/rechenfehler?

[- TeMET_noSCE -]

wegen blödheit gelöscht

[Studigel]

@Birdland
Auf diese Werte kommst du wenn du x²(y+1).... nimmst. Ich nehm mal an Arnobel hat hier einen Abschreibfehler bei der Angabe.

//Rechenfehler

[thomas]

mein Ergebnis ist ein bisserl anders:
f(1,0) = 0
fx(1,0) = -1
fy = 1
fxy= 2
fxx =0
fyy = 2
linear: f=1-x+y
quadr.: f=1-x-y+2xy+x^2

muss aber auch nicht richtig sein...

[- TeMET_noSCE -]

@Birdland
Auf diese Werte kommst du wenn du x²(y+1).... nimmst. Ich nehm mal an Arnobel hat hier einen Abschreibfehler bei der Angabe.

Bei mir is das rausgekommen:

f = 0
fx = 2x*(y-1)+e^y² = -1
fy = -x²+x*e^y²*2y = -1
fxx = 2*(y-1) = -2
fxy = fyx = -2x + 2y*e^y² = -2
fyy = 2x*e^y² * (1+2y) = 2

linear:
1-x-y

quadratisch:
linear + 1/2*(-2*(x-1)²+-4*(x-1)*y+2y²)
wie kommst du auf fy = 2 ???
fy wär bei mir x^2 + xe^y^2, an der Stelle (1;0): 1 + 1*e^0 = 1+1 = 2
wo hab ich denn da einen denkfehler?

[Studigel]

Ja sorry, ableiten ist halt doch schwer am Sonntag morgen ;)

fy = x²*(1-0)+x*e^y²*2y = 1*1 + 1*1*2*0 = 1

so müssts passen:

f = 0
fx = 2x*(y-1)+e^y² = -1
fy = x²+x*e^y²*2y = 1
fxx = 2*(y-1) = -2
fxy = fyx = 2x + 2y*e^y² = 2
fyy = x*(e^y²*2+e^y²*2y*2y)= 2x*e^y²*(1+2y²) = 2

linear:
1-x+y

quadratisch:
linear + 1/2*(-2*(x-1)²+4*(x-1)*y+2y²)

@Temet
Bei e^y² hast du eine Kettenregel.

[arnobel]

wie kommst du auf diese werte, wenn ich in die funktion den pkt (1,0) einsetze, kommt bei mit F(1,0) = 0 Fx= - 1 Fxx=-1 Fy=1 Fyy=2
und Fxy=2
oder hab ich irgendeinen denk/rechenfehler?

Scheisse JA !

Hab wirklich x^2(y+1) gerechnet.

Sorry !

Kann eure Ergebnisse bestätigen.

[Murmel]

so müssts passen:

f = 0
fx = 2x*(y-1)+e^y² = -1
fy = x²+x*e^y²*2y = 1
fxx = 2*(y-1) = -2
fxy = fyx = 2x + 2y*e^y² = 2
fyy = x*(e^y²*2+e^y²*2y*2y)= 2x*e^y²*(1+2y²) = 2

linear:
1-x+y

quadratisch:
linear + 1/2*(-2*(x-1)²+4*(x-1)*y+2y²)

Die einzelnen Ableitungen kann ich bestätigen, aber die lineare Approximation ergibt bei mir:
x-1+y (weil =0 + 1(x-1) + 1 (y-0) )

ansonsten hab ich die quadratische gleich, ergibt übrigens wenn mans entwickelt (mit obiger linearen Approx)
-2+3x-y+xy-x^2+2y^2

lG,
Murmel

[paikuhan]

Die einzelnen Ableitungen kann ich bestätigen, aber die lineare Approximation ergibt bei mir:
x-1+y (weil =0 + 1(x-1) + 1 (y-0) )



linear sollte aber denk ich 1-x+y stimmen, weil fx is ja -1 und nicht 1


mfg

[Murmel]

linear sollte aber denk ich 1-x+y stimmen, weil fx is ja -1 und nicht 1

Hast Recht, das hab ich übersehn, in dem Fall kommt am Ende
x-y+xy-x^2+2y^2
raus

lG,
Murmel

[InspectorGadjet]

Hast Recht, das hab ich übersehn, in dem Fall kommt am Ende
x-y+xy-x^2+2y^2
raus

lG,
Murmel
bei mir kommt x-y+2xy-x²+y² heruas

da man ja 2(xy-y) hat...

[Murmel]

bei mir kommt x-y+2xy-x²+y² heruas

da man ja 2(xy-y) hat... Ja, aber dadurch, dass das Ganze in der 1/2 * (...) steht wirds wieder halbiert.

EDIT: oh hast Recht, fxy ist 2 und nicht 1, deshalb. Kleiner Abschreibfehler meinerseits.
In dem Fall sinds aber -3y statt -y
also:
x-3y+xy-x^2+2y^2

lG,
Murmel

[InspectorGadjet]

In dem Fall sinds aber -3y statt -y
also:
x-3y+xy-x^2+2y^2

lG,
Murmelhm... kann dir nicht ganz folgen...

bei mir:

linear: 1 - x + y
quadratisch:

1 - x + y -x² + 2x - 1 + 2xy - 2y + y² = x - y + 2xy - x² + y²

[Murmel]

ok hast schon recht, bei mir kommt inzwischen auch

1 - x + y -x² + 2x - 1 + 2xy - 2y + y² = x - y + 2xy - x² + y² raus (nur im letzten Posting hast du jetzt ein - statt dem + geschrieben aber ich nehm an das war ein Tippfehler?)

lG,
Murmel

[Mr. Zet]

ich bekomme das gleiche heraus

aber ihr dürft das nicht zusammenfassen, das ganze zusammen ist natürlich die taylorentwicklung, aber ihr dürft zum quadratischen teil nicht den linearen teil nochmal dazunehmen ;)

[InspectorGadjet]

man muss für die quadratische entwicklung auch die lineare entwicklung hinzufügen

[paikuhan]

Das alles hat mich auch ein bißchen verwirrt, im Skriptum steht nämlich, dass die quadratische Approximation allein nur den letzten Teil beinhaltet, in der VO hat aber der Karigl gesagt, dass der ganze Term (Skriptum S. 11 oben) die quadratische Approximation bildet.

Heut in der Übung hat ers nochmal klar formuliert:

Lineares Glied = linker Teil vom + in der Formel
Quadratisches Glied = rechter Teil vom +

Lineare Approximation = Lineares Glied
Quadratische Approximation = Lineares Glied + Quadratisches Glied

[volpe]

ich seh das auch so das die quadratische approximation die lineare einschließt

das lineare glied ist ja eine annäherung an die funktion (allerdings ungenau), wenn man jetzt das quadratische glied hinzufügt wird, wird die approximation mehr an die funktion angenähert (wird somit genauer)

das quadratische glied alleine wäre also nicht wirklich von nutzen..

nochmal zusammenfassend:

f = 0
fx = -1
fy = 1
fxx = -2
fxy = 2
fyy = 2

lin: 1-x+y
quadr: x-y+2xy-x²+y²

[ein_stein2000]

hier mit schritt-für-schritt-umformungen:
http://stud3.tuwien.ac.at/~e0326586/mathe2/Mathe2_Beispiel14.pdf