Beispiel 12

[supporter]

So, jetzt hab ich mal Bsp 12 zugewandt und meine Ergebnisse sind etwas dubios.
Für a) erhalte ich df = -50
und für b) df = -72
bei c) fehlt mir vollkommen der Durchblick...


Dubios deswegen weil ich bei a) die Probe gemacht hab indem ich einfach 0,0 in die Funktion eigesetzt hab. Ist klar das dann für f 0 rauskommt! Aber wenn man P0 einsetzt (3,2) dann erhält man 25. D.h. die Änderung ist ja eigentlich nur -25 und nicht -50 !? Bei b) gehts mir ähnlich.

Wie habts ihr das gerechnet?

[Murmel]

Ich werd diesbezüglich irgendwie aus dem Skriptum nicht schlau :confused: , kannst du vielleicht posten, wie du auf die Resultate kommst? thx

lG,
Murmel

[supporter]

Nunja, für a) hab ich zuerst die Änderungen dx und dy bestimmt. Da unser Ausgangspunkt (3,2) ist und die Ableitung in Richtung der Koordinatenachsen zu berechnen ist wäre dx=-3 und dy=-2 (nach meiner Logik).

Dann kommt grad f dran. Also sind die partiellen Ableitungen fx und fy berechnen. Danach hab ich das skalare Produkt aus dem Vektor der partiellen Ableitungen und den jeweiligen Änderungen berechnet, wie auf Seite 15 im Skriptum. Zuletzt hab ich dann noch die Werte für x=3 und y=2 eingesetzt.

b) müsste eigentloch genauso funktionieren nur mit den Änderungen nach (-1,-1), also dx=-4 und dy=-3.

Nachdem mir aber seltsame Werte rauskommen schätze ich, dass dieser Lösungsweg falsch ist :)

[arnobel]

Also wenn bei
a) df/dx = 2*x ---> 2*3 = 6;
df/dy = 8*y ---> 8*2 = 16;

Vektor (6,16) --> 22
b)
In Richtung v(-1,-1)

df/dv = ( 6,16 ) * (-1,-1) = -22

c)
In Richtung grad F: df = || grad f ||

d.h. || ( 6, 16) || = Sqrt( 6^2 + 16^2) = 2*Sqrt(73) = 17,088

Bitte korrigierts mich wenns falsch ist !

[Batigoal]

@supporter

klingt eigentlich alles nicht unlogisch.... (was nicht heißt, das es richti sein muß :-))

@arnobel: Wie kommst du darauf, daß der Vektor (6,16) 22 ergibt??

[Murmel]

Wie kommst du darauf, daß der Vektor (6,16) 22 ergibt?? 6+16=22
Ist im Skriptum auch so dass man die immer zusammenrechnet.

lG,
Murmel

[paikuhan]

Also ich schreib mal auch auf was ich dazu hab:

Gegeben ist die Funktion f(x,y) = x^2 + 4y^2
Gesucht sind die Richtungsableitungen vom Punkt P(3,2) in verschiedene Richtungen (siehe Skriptum S. 8/9).

Die Richtungsableitung ist demnach gegeben durch:

df = grad f * e
oder auch
df = |grad f| * |e| * cos phi

Meine Lösungen:
Gradient im Punkt P(3,2) = (6,16)

a)
In Richtung der x-Achse: df = 6
In Richtung der y-Achse: df = 16

b)
In Richtung von (-1,-1): df = -15.56
(@arnobel: Ich glaub da is meins richtig, weil dein Ergebnis kommt mir als Zwischenergebnis raus, wenn ich noch nicht berücksichtigt hab, dass der Vektor (-1,-1) kein Einheitsvektor ist)

c)
Selbes Ergebnis wie arnobel, df = 17.08


Falls da Fehler drinstecken, bitte korregieren! :thumb:


mfg

[MikeJRendar]

b)
In Richtung von (-1,-1): df = -15.56
(@arnobel: Ich glaub da is meins richtig, weil dein Ergebnis kommt mir als Zwischenergebnis raus, wenn ich noch nicht berücksichtigt hab, dass der Vektor (-1,-1) kein Einheitsvektor ist)


wie kommst du da drauf? reicht es nicht zu sagen das der vektor (-6, -16) das ergebniss ist? weil der betrag von dem vektor ist ja wie der grad f vektor 17,088

[paikuhan]

wie kommst du da drauf? reicht es nicht zu sagen das der vektor (-6, -16) das ergebniss ist? weil der betrag von dem vektor ist ja wie der grad f vektor 17,088

Hmmm also ich bin auf das mit folgenden Überlegungen gekommen:

df = grad f * e (wobei * = skal. Multiplikation und e = Einheitsvektor in eine beliebige Richtung)

Der Richtungsvektor (-1,-1) hat einen Betrag von sqrt(2), ist also kein Einheitsvektor. Den zugehörigen Einheitsvektor erhält man durch
1/sqrt(2) * R
==
(-0.71,-0.71)

In die Formel für df eingesetzt ergibt das:
df = (6,16) * (-0.71,0.71) = -4.24 + (-11.32) = -15.56

Is nicht unbedingt richtig.. wie kommst du auf dein Ergebnis?


mfg

[MikeJRendar]

deine erklärung klingt sehr einleuchtend ich habe vergessen das ja das (-1,-1) noch kein einheitsvektor ist sondern nur mal die richtungin die differenziert werden soll.


In die Formel für df eingesetzt ergibt das:
df = (6,16) * (-0.71,0.71) = -4.24 + (-11.32) = -15.56

hier addierst du die erste und zweite zeile des vektors den du nach der multiplikation mit dem E vektor bekommst. das macht prof. karigl im skriptum genauso... nur verstehe ich nicht ganz warum das so gehört. kannst du mir das vielleicht erklären? ich hätte da einfach den betrag vom vektor genommen.

[Stoefln]

Jup versteh ich auch nicht ganz. Betrag würd ich einleuchtender finden...

[Mr. Zet]

weil das vollständige differenzial nunmal so definiert ist
(für 2 variablen):

df = fx(x0, y0) * dx + fy(x0, y0) * dy

Als Vektor ist das ja nur eine andere schreibweise :)

(hab aber selbst noch nicht so wirklich durchschaut, was das jetzt eigentlich im klartext bedeutet ;))

[ein_stein2000]

hm i glaube net, dass paikuhan recht hat ... weil es ja heißt "in Richtung des Einheitsvektors" ... im skriptum seite 10 wir jo auch net mit dem einheitsvektor sondern mit grad f = 3e*(3,-3,2) gerechnet ...

[Mr. Zet]

doch, hat er, weil der einheitsvektor der richtung des gradienten gefragt ist

(und der ist im bsp im skriptum nunmal ein anderer ;))

edit: man sollte genauer lesen bevor man antwortet...

einstein, auf welches der 3 ergebnisse beziehst du dich (a,b,c) ?

[ein_stein2000]

doch, hat er, weil der einheitsvektor der richtung des gradienten gefragt ist

(und der ist im bsp im skriptum nunmal ein anderer ;))

edit: man sollte genauer lesen bevor man antwortet...

einstein, auf welches der 3 ergebnisse beziehst du dich (a,b,c) ?
c) meinte ich ...

[Mr. Zet]

das was paikuhan erklärt ist aber b)

bei c) hat er das gleiche wie arnobel (und ich auch) nämlich "nur" den betrag des gradienten von f

;)

[volpe]

ist bei bsp b) der Richtungsvektor nicht (-4,-3) statt (-1,-1) ... vom Punkt (3, 2) aus betrachtet schon, dachte zumnindest diese Richtung ist gemeint

oder bezieht sich die Richtung auf den Vektor vom Ursprung zum Punkt (-1,-1) ?

[supporter]

Eigentlich dachte ich auch, dass (-4,-3) gemeint ist...Irgendwie durchschau ich des Zeug noch nicht.

[paikuhan]

hier addierst du die erste und zweite zeile des vektors den du nach der multiplikation mit dem E vektor bekommst. das macht prof. karigl im skriptum genauso... nur verstehe ich nicht ganz warum das so gehört. kannst du mir das vielleicht erklären? ich hätte da einfach den betrag vom vektor genommen.

Um die Definition von Mr. Zet noch etwas auszuweiten:

df = grad f * e
Das * zwischen den Vektoren ist das skalare Produkt der Vektoren, d.h., dass hier ein Skalar, also eine Zahl, rauskommt.
Definiert ist es (bei einem zweizeiligen Vektor) wie folgt:

(x1,y1) * (x2,y2) = x1*x2 + y1*y2

Setzt man jetzt eben den Gradienten und den Einheitsvektor ein, kommt man dann auf die Definition von Mr. Zet.

@volpe
Hatte heut Übung, Ergebnisse haben gestimmt.


mfg

[ein_stein2000]

Um die Definition von Mr. Zet noch etwas auszuweiten:

df = grad f * e
Das * zwischen den Vektoren ist das skalare Produkt der Vektoren, d.h., dass hier ein Skalar, also eine Zahl, rauskommt.
Definiert ist es (bei einem zweizeiligen Vektor) wie folgt:

(x1,y1) * (x2,y2) = x1*x2 + y1*y2

Setzt man jetzt eben den Gradienten und den Einheitsvektor ein, kommt man dann auf die Definition von Mr. Zet.

@volpe
Hatte heut Übung, Ergebnisse haben gestimmt.


mfg
um jetzt nochmal sicher nachzufragen (bin jetzt etwas durcheinander):
also bei b) gehört df = (6,16) * (-0.71,0.71) = -4.24 + (-11.32) = -15.56 ... wurde das so auch in der übung bestätigt?

[volpe]

alles klar!
gut, also ist immer die richtung vom ursprung zum punkt gemeint (grob gesagt die koordinaten des jeweiligen punktes)

@ein_stein_2000:
eigentlich müsste man
df = (6,16) * (-0.71,-0.71) = -4.24 + (-11.32) = -15.56
schreiben, sonst wäre ja df = 6*(-0.71) + 16*0.71 = -4.24 + 11.32 = ....

den einheitsvektor von (-1, -1) bekommt man so:
___________________________||(-1, -1)|| = sqrt((-1)²+(-1)²) = sqrt(2)
e = (-1/sqrt(2), -1/sqrt(2))
.. einfach den vektor durch seinen betrag dividieren (das garantiert, das der betrag = 1 ist)

[ein_stein2000]

jo jetzt hab ichs verstanden (danke Zet auch für die hilfe im IRC)

das sollte dann das Ergebnis sein (mit Erklärungen):
http://stud3.tuwien.ac.at/~e0326586/mathe2/Mathe2_Beispiel12.pdf