Beispiel 61 Fragen über Fragen

[atlan-aaw]

Hi also ich hab ne Frage dazu,

ich hab mir mal einige Gedanken drüber gemacht bzw Definitionen ec. zusammengetragen:

http://www.fh-lueneburg.de/mathe-lehramt/algebra/koerperbegriff.pdf

ich nehme von der PDF mal die 3 Definitionen für Halbring Ring und Körper

+ 0 1
0 0 1
1 1 0

Halbgruppe:
1.) es gilt für alle a,b element von M
a.b element von M
0.1=0 0 element von M
2.) a.b=b.a
=> Halbgruppe

Distributivgesetz gilt ja auch da a.b=b.a wobei das ja schon eigentlich in der Halbgruppe drin ist?!

M * = Halbgruppe ist ja auch leicht zu beweisen

nur alle 3 Definitionen sind erfüllt ..... sprich ich hab was das Halbring Ring UND Körper ist :ahhh:

irgendwie verwirrend, würde mal begrüssen, wenn wieder mehr Leute hier sich trauen was zu posten, dann kann man schaun ob man ned irgendwo total den Faden verloren hat :thumb:

[Paulchen]

Distributivgesetz gilt ja auch da a.b=b.a wobei das ja schon eigentlich in der Halbgruppe drin ist?!
Das Distributivgesetz ist meiner Meinung nach das Verteilungsgesetz: (a+b)*c=c*a+c*b, genauso, wie es in der PDF-Datei steht. Für dieses Gesetz benötige ich zwei Operationen, es kann also nicht innerhalb einer Halbgruppe gelten.
Das, was du meinst, heißt Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz): a+b=b+a bzw. a*b=b*a. Es ist allerdings nirgendwo Voraussetzung für eine Gruppe, lediglich für eine kommutative (abelsche) Struktur.
Voraussetzung für eine Halbgruppe ist jedoch die Eigenschaft G2 mit dem Assoziativgesetz: a+(b+c)=(a+b)+c bzw. a*(b*c)=(a*b)*c Man beachte: Hier hat man nur eine Operation.

nur alle 3 Definitionen sind erfüllt ..... sprich ich hab was das Halbring Ring UND Körper ist :ahhh:
Irgendwie hab ich das Gefühl, dass jeder Körper ein Ring ist und jeder Ring ein Halbring, weil jede (kommutative) Gruppe eine Halbgruppe ist. Insofern kann es also durchaus sein, dass alle drei Definitionen erfüllt sind, da sie sich nicht ausschließen; wenn alle drei Definitionen also erfüllt sind, handelt es sich um einen Ring.


Na gut, so viel also dazu. Um zu zeigen, welche Struktur <M,+,*> ist, muss man sich überlegen, ob
1. (M,+) eine Halbgruppe oder eine kommutative Gruppe ist,
2. (M,*) eine Halbgruppe oder eine Gruppe ist und
3. die Distributivgesetze gelten.

ad 1. G1 gilt ganz offensichtlich (Abgeschlossenheit), G2 auch (Assoziativgesetz, siehe oben), G3 auch (e=0, da a+0=a f. a. a in M) und auch G4 (a=0 => a'=1; a=1 => a'=0; d. h. jedes Element in M ist zu sich selbst invers); es gilt weiters G5 (a+b=b+a), was bedeutet, dass es sich bei (M,+) um eine kommutative Gruppe handelt.

ad 2. G1 gilt (Ergebnis 0 ist in M), G2 auch; G3 gilt nicht (es gibt kein e, sodass a*b=1, da a*b immer 0 ist); es liegt daher nur eine Halbgruppe vor.

ad 3. Die Distributivgesetze müssen gelten (siehe oben), schon alleine aus dem Grund, dass ansonsten die Aufgabenstellung hinfällig wäre.

Man hat es also nun mit einer kommutativen Gruppe <M,+>, einer Halbgruppe <M,*> und den Distributivgesetzen zu tun. Ich würde bei diesem Beispiel daher auf einen RING tippen.

[BUBU]

G4 (a=0 => a'=1; a=1 => a'=0; d. h. jedes Element in M ist zu sich selbst invers);

hm wie kommst du darauf das a'=1??? also ich dachte mir das wenn a=0 dann a'=0^-1 und das is ja bekanntlich gar nix..... also würd ich sagen G4 gilt nich dann wär die ganze gaudi ein kommutatives Monoid....

[Paulchen]

hm wie kommst du darauf das a'=1??? also ich dachte mir das wenn a=0 dann a'=0^-1 und das is ja bekanntlich gar nix..... also würd ich sagen G4 gilt nich dann wär die ganze gaudi ein kommutatives Monoid....
a'=a^-1 ist lediglich eine allgemeine Schreibweise und hat nichts mit 1/a zu tun (was in diesem Zusammenhang etwas an den Haaren herbeigezogen wäre).

Hier sucht man, um zu zeigen, dass G4 erfüllt ist, für jedes Element a ein a', sodass gilt:
a*a'=a'*a=e
In diesem Fall, da nur die zweielementige Menge {0,1} vorliegt, ist es meiner Meinung nach das Schnellste, zu zeigen, welches das inverse Element zu 0 ist und welches jenes zu 1. Ist also a=0, dann sollte auch a'=0 sein (und nicht, wie ich geschrieben habe, a'=1), ist a=1, dann ist a'=1 (nicht a'=0, wie ich geschrieben habe). Diesen Zusammenhang a=a' hab ich ja auch verdeutlicht, indem ich geschrieben habe: Jedes Element in M ist zu sich selbst invers.
Da mit a=a' nun gezeigt ist, dass jedes Element ein inverses hat, ist G4 erfüllt => Gruppe.

Oder nicht? Irgendwelche Einwände?

[Raiden]

M={0,1} mit der Addition modulo 2 ....

Heisst das:
a + b := (a+b) mod 2

?

[Poppe]

das würd mich auch intressiern....

owbohl was andres kanns eigntlich nicht heißen, weil mit restklassenaddition hat das ja nix zu tun (hoff ich);)

[Paulchen]

ich hab zumindest damit gearbeitet und war damit einigermaßen erfolgreich ;-)

[fago]

um zu entscheiden obs ein körper ist, muss man das ja auf die Menge ohne Nullelement beziehen - nur was bitte ist ein nullelement??
das selbe wie ein nullteiler?

daweil hab ich das:
<M,+> abelsche Gruppe
<M, . > abelsche Halbgruppe
Distributivgesetze gelten

-> (kommutativer) Ring
-> kein Halbring, da <M, .> kein Einheitselement mit e=1 hat

[Paulchen]

Das Nullelement ist das additiv neutrale Element (d. h. das Einheitselement von <M,+>), das Einselement ist das multiplikativ neutrale Element (d. h. das Einheitselement von <M,*>). Da bei der "normalen" Addition 0 das Einheitselement ist, heißt das in einer Struktur <M,+,*> Nullelement und weil bei der "normalen" Multiplikation 1 das Einheitselement ist, heißt das dann Einselement.

[fago]

ah danke,
ok somit ist Mo = {1}, <Mo,.> keine abelsche Gr. und somit haben wir keinen Körper :)