View Full Version : [FRAGE] - Beispiel 15
bei mir ergibt
fx = 4y^2 + 40y + 9x^2
fy = xy + 5x - 2y - 10
fx ist 0 wenn x=0 und y=0
fy ist 0 wenn x=2 und y=2
es müssen aber beide 0 sein, oder?
Birdland
06-11-2004, 13:36
bei mir ergibt
fx = 4y^2 + 40y + 9x^2
fy = xy + 5x - 2y - 10
fx ist 0 wenn x=0 und y=0
fy ist 0 wenn x=2 und y=2
es müssen aber beide 0 sein, oder?
fy= xy + 5x - 2y - 10 = (x-2)(5+y)
fy ist = wenn x=2 und y=-5 oder ?
(war zwar nicht deine frage aber ich denk mir´s halt so)
steck übrigens auch gerade an dem punkt des bsps fest , wie muss ich jetzt weiter herausheben für die D= Berechnungen?
anscheinend ist dort fy auch 0
fx ist dort aber nicht 0.
wie löst man das am vernünftigsten?
supporter
07-11-2004, 04:23
Ihr seits mit dem Problem nicht alleine :) mir gehts genauso.
Ich vermute, dass man eine der beiden Ableitungen so umformen muss, dass sie in die andere eingesetzt werden kann so wie im Skriptum aus Seite 13.
supporter
07-11-2004, 05:00
Ich habs:
Birdlands
"fy= xy + 5x - 2y - 10 = (x-2)(5+y)
fy ist = wenn x=2 und y=-5 oder ?"
war der Auslöser.
Und zwar muss man zunächst das x=2 in die erste Ableitung (fx) einsetzen, erhält dann eine quadratische Gleichung mit den 2 Lösungen y1 = -9 und y2= -1.
Dann setzt man y=-5 in die erste Ableitung ein und erhält nach ein paar Umformungen die Ergebnisse x=+-(10/3).
D.h. die Nullwerte sind an den Stellen:
x1=2 y1=-9
x2=2 y2=-1
x3=10/3 y3=-5
x4=-10/3 y4=-5
Zur Probe hab ich mit Erfolg alle Werte in beide Ableitungen eingesetzt.
Das war bis jetzt aber nur die erste Hälfte des Beispiels :)
Wie sieht man eigentlich mit menschlichen Augen, dass bei fy= xy + 5x - 2y - 10 ein Herausheben möglich ist????
Nun !
Ich gehe mit deiner Lösung konform.
Zusätzlich ist die
Determinante D zu bilden aus
Fxx Fxy
D =
Fxy Fyy
Wenn die < 0 Sattelpkt., rel Extremum , > 0 , = 0 keine Aussage
Bei Extremum Fxx > 0 Minimum
Fxx < 0 Maximum
d.h. für uns müsste
D(2,-9) = 18*2*(16-16) - (*-9+40)^2 < 0 Sattelpkt
D(2,1) = 18*2(16-16) - (48)^2 < 0 Sattelpkt
D(10/3,-5) = 60(80/3-16) - (0) > 0 , Fxx > 0 rel. Min
D(10/3,-5) = -60(-180/3-16) -(0) > 0, Fxx > 0 rel. Min
sein.
Studigel
07-11-2004, 15:17
@supporter
Sowas ähnliches wie herausheben.
5x+xy-2y+10 = x*(5+y)-2y+10 = y*(x-2)+5x+10
Also wenn du die 2 Variablen heraushebst und nimmst du die Klammern. Geht sicher mathematisch fundierter auch aber so "sieht man das mit menschlichen Augen" ;)
Ergebnis hab ich auch so.
aso?
ich interpretiere seite 13 unten so:
wenn D < 0 dann Sattelpunkt, wenn =0 keine Aussage und>0 dann rel. Extremum abhängig von fxx
bei mir ist
D=| 18x y+5 |
| y+5 -8 |
Bei mir sind die ersten 3 Punkte ((2;-9),(2;-1),(10/3;-5)) Sattelpunkte.
(-10/3;-5) ist bei mir ein relatives Maximum
oder lieg ich sehr falsch?
aso?
ich interpretiere seite 13 unten so:
wenn D < 0 dann Sattelpunkt, wenn =0 keine Aussage und>0 dann rel. Extremum abhängig von fxx
Genau so stehts auch im Satz auf Seite 12 unten, sollte also so stimmen. Muss es erst fertig ausrechnen aber bis jetzt kommt bei mir dasselbe raus.
lG,
Murmel
Bei mir sind die ersten 3 Punkte ((2;-9),(2;-1),(10/3;-5)) Sattelpunkte.
(-10/3;-5) ist bei mir ein relatives Maximum
Habs FAST gleich, mit dem Unterschied dass bei mir (10/3;-5) ebenfalls ein lokales Extremum, und zwar ein Minimum ist.
lG,
Murmel
MikeJRendar
07-11-2004, 17:02
sorry habe die angabe falsch gelesen.
ich glaube ihr habt die fx falsch...
f = 4x(y^2) + 40xy - 8(y^2) - 80y +3(x^2)
fx = 4(y^2) + 40y +6x
[...]
mein fx stimmt ziemlich sicher weil ich zur probe fxy und fyx gerechnet habe und beide sind gleich... Du hättest zur Probe nochmal die Angabe vergleichen sollen :) Es sind x^3, nicht x^2. Dadurch kommt natürlich ein anderes fx bei dir raus.
Wie man die Gleichungen löst steht eh ganz gut in supporters posting oben beschrieben.
lG,
Murmel
MikeJRendar
07-11-2004, 17:36
Du hättest zur Probe nochmal die Angabe vergleichen sollen :) Es sind x^3, nicht x^2. Dadurch kommt natürlich ein anderes fx bei dir raus.
Wie man die Gleichungen löst steht eh ganz gut in supporters posting oben beschrieben.
lG,
Murmel
ja danke bin eben in dem moment drauf gekommen *hide*
wie kommt ihr auf fy=xy+5x-2
wenn ihr die angabe auf 4xy^2+40xy+8y^2+80y+3x^3 ausrechnet, und dann ableitet, kommt da 8xy+40x-16y-80 raus
edit: habs rausbekommen, bloeder fehler meinerseits
Die sollten
fxx = 18x
fxy = 8y + 40
fyy = 8x -16
sein. Daraus folgt D=
| 18x 8y+40 |
| 8y+40 8x-16 |
Die Punkte (2,-1) wären dann keine Extrema.
(-10/3,-5) ein Maximum und (10/3,-5) ein Minimum.
Okay?
Die sollten
fxx = 18x
fxy = 8y + 40
fyy = 8x -16
sein. Daraus folgt D=
| 18x 8y+40 |
| 8y+40 8x-16 |
Die Punkte (2,-1) wären dann keine Extrema.
(-10/3,-5) ein Maximum und (10/3,-5) ein Minimum.
Okay?
jop!
hab ich auch so!
wenn ma jetzt noch in die geg. funktion einsetzt bekommt man je die letzte Koordinate der Punkte
f(10/3,-5) = -200/9
f(-10/3,-5) = 3800/9
E1 (10/3, -5, -200/9) = rel. Min.
E2 (-10/3, -5, 3800/9) = rel. Max.
@supporter: Respect! hab mir ewig n schädl zerbrochen, g'miadliche methode!!!
ein_stein2000
08-11-2004, 23:31
i hätte nur ah frage: wie kommts ihr drauf, dass die ersten 2 punkte D(2,-9) und D(2,-1) Sattelpunkte sind? diese Definition hab ich nirgends im Skriptum gefunden ...
ein_stein2000
08-11-2004, 23:33
mir is grad aufgefallen, dass sich da ein fehler eingeschlichen hat (rot markiert)
Nun !
Ich gehe mit deiner Lösung konform.
Zusätzlich ist die
Determinante D zu bilden aus
Fxx Fxy
D =
Fxy Fyy
Wenn die < 0 Sattelpkt., rel Extremum , > 0 , = 0 keine Aussage
Bei Extremum Fxx > 0 Minimum
Fxx < 0 Maximum
d.h. für uns müsste
D(2,-9) = 18*2*(16-16) - (*-9+40)^2 < 0 Sattelpkt
D(2,-1) = 18*2(16-16) - (48)^2 < 0 Sattelpkt da gehört -1 und somit kommt folgendes raus: 18*2(16-16) - (0)^2
D(10/3,-5) = 60(80/3-16) - (0) > 0 , Fxx > 0 rel. Min
D(10/3,-5) = -60(-180/3-16) -(0) > 0, Fxx > 0 rel. Min
sein.öl
supporter
09-11-2004, 00:02
i hätte nur ah frage: wie kommts ihr drauf, dass die ersten 2 punkte D(2,-9) und D(2,-1) Sattelpunkte sind? diese Definition hab ich nirgends im Skriptum gefunden ...
Der Karigel hat es in der Vorlesung gesagt und im Skriptum auf S. 12 unten steht auch was, dass darauf hindeutet.
Sowas ähnliches wie herausheben.
5x+xy-2y+10 = x*(5+y)-2y+10 = y*(x-2)+5x+10
Also, mich hat das immer schon irritiert. Denn wenn der Ausdruck so lauten würde:
5x+xy-2y+11
dann würde man nach obiger Logik genauso herausheben:
x*(5+y)-2y+11 = y*(x-2)+5x+11
was ergeben würde (5+y)*(x-2) = 5x-xy-2y+10 und eben nicht 5x-xy-2y+11
Jedenfalls hab ich die Nullstellen der Ableitungen nach einer Methode berechnet, die so lächerlich einfach ist, dass es schon weh tut:
fx = 4y² + 9x² + 40y = 0
fy = 8xy + 40x -16y - 80 = 0 |:8
Erst mal x ausdrücken:
xy + 5x - 2y -10 = 0 | +2y +10 :(y+5)
x = (10 + 2y)/(5 + y) = 2*(5 + y)/(5 + y) | Kürzen
x1 = 2
Nun in fx einsetzen, quadratische Gleichung lösen => y1 = -1, y2 = -9
Jetzt das selbe mit y:
xy + 5x - 2y -10 = 0 | -5x +10 :(x-2)
y=(-5x + 10)/(x-2) = -5(x - 2)/(x - 2) | Kürzen
y3 = -5
Wieder in fx einsetzen, Gleichung lösen => x2 = 10/3, x3 = -10/3
Hoffe, damit einem Lernenden ein bisschen das Grübeln zu erleichtern.
LG johnDoe
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