Prüfung Cenker 27.10.04

[privato]

1) Matrix A (1 2, 2 1), b = (-4,-2)
f: R^2 -> R mit f(x) = x^tAx+b^t*x

a) In welchen Punkten ist f stationär?
b) Besitzt f lokale/globale Extrema?
c) Bestimmung der Richtungsableitung im Punkt (1,1) in Richtung (4,-3)
d) In welche Richtung ist die Ableitung im Punkt (2,2) maximal?

2) g(x,y) = sin(xy)

a) Bestimmung der Tangentialabbildung im Punkt (Pi,1/2)
b) Implizite Form der Tangentialebene im Punkt (Pi,1/2) angeben
c) Bestimmung des Taylorpolynoms im Punkt (Pi, 1/2)
d) In welche Richtung ist der Anstieg von g(x,y) im Punkt (0,1) maximal?

3) B = {(x,y) € R^2: 4 <= x^2+y^2 <= 9, y >= 0}

a) Skizze des Bereichs B
b) Integral_B 1 dxdy
c) Integral_B xy dxdy

4) f(x,y) = y-x^2, g(x,y) = x^2+2y^2-1

a) Skizze der Niveaulinien von f
b) Bestimmung des Minimums von f(x,y) unter g(x,y) = 0
c) Minimierung von g(x,y) ausgehend vom Punkt (1,1) mit Hilfe der Methode
des steilsten Abstiegs

So das wärs.

[MaxAuthority]

danke privato, ich wusste auf dich ist verlass :)

wie ists dir eigentlich gegangen, hat dein lernen nach dem skript und ein paar uebungsbeispiele gereicht?

[privato]

danke privato, ich wusste auf dich ist verlass :)

wie ists dir eigentlich gegangen, hat dein lernen nach dem skript und ein paar uebungsbeispiele gereicht?Ja, gut, dadurch konnte ich auch noch die Angabe abschreiben ;)
Es scheint jedenfalls so, dass Cenker auf Bestimmung der Jacobimatrix der Umkehrabbildung, lokale Extremabestimmung, Richtungsableitung, Tangentialabbildung, Taylorpolynom und logistische Differentialgleichungen besonderen Wert legt.
Seine Kollegin Uchida variiert da mehr; zumeist gibts aber ein Integral, bei dem man die natürliche Transformation anwenden muss und/oder den Inhalt eines Simplex berechnen soll und Bestimmung eines Extremums mit Nebenbedingung. Der Rest scheint nicht wirklich vorhersehbar, mit Niveaulinienbestimmung/zeichnung und Methode des steilsten Abstiegs kann man aber auch eher rechnen.
Das heißt, wenn man die paar Sachen ordentlich übt, wirds ziemlich sicher für die Prüfung reichen. Das ist zumindest mein Eindruck...

[djmaecki]

Hatte eine verdammt grosse Ähnlichkeit mit meiner Mitschrift: http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=20401

Zum Glück kann ich die beinahe auswendig ;-). Lernen sollte man jedenfalls. Ich hab einfach alle Beispiele des Skriptums durchgerechnet (dadurch konnte ich auch Bsp3, das ist ja aus dem Skriptum), alle bekannten POs und ein paar Übungsbeispiele. Das muss jetzt einfach reichen.

[spike7]

Hatte eine verdammt grosse Ähnlichkeit mit meiner Mitschrift: http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=20401

hm. die attachments lassen sich nicht downloaden. vl liegt das am crash. kannst die files evtl nochmal hier posten? wäre echt nett.
thx.

[djmaecki]

hm. die attachments lassen sich nicht downloaden. vl liegt das am crash. kannst die files evtl nochmal hier posten? wäre echt nett.
thx.
So, hab die Attachments neu gepostet.

[spike7]

yep! jetzt funkt's. vielen dank!

[ghost dog]

hab den test mal durchgerechnet. hier meine ergebnisse.
was bekommt ihr raus?

lg,
michi

1) Matrix A (1 2, 2 1), b = (-4,-2)
f: R^2 -> R mit f(x) = x^tAx+b^t*x

a) In welchen Punkten ist f stationär?
b) Besitzt f lokale/globale Extrema?
c) Bestimmung der Richtungsableitung im Punkt (1,1) in Richtung (4,-3)
d) In welche Richtung ist die Ableitung im Punkt (2,2) maximal?
@a: in P(0,1)
@b: die det der Hessematrix ist kleiner null -> sonderfall -> es handelt sich daher um einen sattelpunkt.
@c: Daf(1,1) = -4/5
@d: in richtung des gradienten. gradf(2,2) = (8,10)


2) g(x,y) = sin(xy)

a) Bestimmung der Tangentialabbildung im Punkt (Pi,1/2)
b) Implizite Form der Tangentialebene im Punkt (Pi,1/2) angeben
c) Bestimmung des Taylorpolynoms im Punkt (Pi, 1/2)
d) In welche Richtung ist der Anstieg von g(x,y) im Punkt (0,1) maximal?
@a: g(x,y) = 0.5*x + pi*y - 3.114 (es wurden grad für sin/cos verwendet)
@b: 0 = 0.5*x + pi*y - z - 3.114
@c: (berechnung der winkelfunktionen mittels radianten; sollte man wahrscheinlich auch unter punkt a und b so machen...)
-1/8*x^2 + (pi*y^2)/2 + 3/8*pi*x + (3*pi^2-pi)/4*y - pi/4*x*y + pi/8 - pi^2/2 +1
(kann sein, dass ich mich da wo verrechnet habe...)
@d: gradientf(0,1) = (1,0)



3) B = {(x,y) € R^2: 4 <= x^2+y^2 <= 9, y >= 0}

a) Skizze des Bereichs B
b) Integral_B 1 dxdy
c) Integral_B xy dxdy

@a: wie im skript auf seite 50. die grenzen für x,y sind hier aber zwischen 2 und 3.
@b: (5*pi)/2 (mittels polarkoordinatentransformation)
@c: 65/32 (mittels polarkoordinatentransformation)



4) f(x,y) = y-x^2, g(x,y) = x^2+2y^2-1

a) Skizze der Niveaulinien von f
b) Bestimmung des Minimums von f(x,y) unter g(x,y) = 0
c) Minimierung von g(x,y) ausgehend vom Punkt (1,1) mit Hilfe der Methode
des steilsten Abstiegs
@a: y = c+ x^2
@b: mittels lagrange: minimum in P(0,0.5) -> f(0,0.5) = 0.5
@c: x3 = (2/27,8/27)

[ddawg69]

Hallo!

Also, den 1. Punkt bekomm ich genauso raus wie du, aber den 2. hab ich ganz anders:

2a) kommt bei mir 1 raus
bei grad f bekomm ich nämlich grad f(x,y) = {y Cos(x y) , x cos(x y)}

und wenn man dann da die beiden punkte Pi,1/2 einsetzt, haben wir für grad f(Pi,1/2) = {0,0}

und für die ganze tangentialableitung kommt dann 1 heraus...

folgedessen sind auch meine anderen punkte anders

b) z-1 = 0

c) 1 + 1/2 (-1/4 x^2 + Pi x - Pi x y - Pi^2 y^2 + 2 Pi^2 y - Pi^2)

d) (1, 0)


zu 3)

a,b passen

bei c bekomme ich aber null heraus.
es ist ja bei x keine beschränkung wie bei y (0<=y)
daher muss man auch im minus x bereich integrieren, was dann im polarkoordinatenbereich von 0 bis Pi wäre.
Und wenn man es mit diesem bereich durchrechnet kommt null raus (wenn man sich x * y überlegt wies ausschaut auch klar)

zu 4)

b) kommt bei mir - 9/8 als minimum im Punkt (+- Wurzel(7/8), -1/4)

hoffe ich hab mich nirgens verrechnet...

[MaxAuthority]

also den 1. punkt hab ich mal genau gleich wie ihr, der sollte passen.
beim dritten punkt c) bekomm ich auch null heraus, begruendung siehe ddawg69. Da ich aber zu dumm bin, um die polarkoordinatentransformation durchzufuehren, bekomm ich irgendwie bei 2.) und 3.)b was anderes raus.

kann mir irgendwer kurz erklaeren, wie man die schnell und einfach durchfuehrt, damit es fuer die pruefung reichen sollte?

[PsychoTheRapist]

Bei punkt 4c kommt bei mir 1/10 (1,1) raus .....Eine erklaerung fuer die polarkoordinationtransformation wuerd mich auch interessieren, ich bin ebenfalls zu dumm dafuer ;) ....

[ddawg69]

hmm, also zur polarkoordinatentransformation kann ich leider auch nicht viel mehr erklären als im skript auf seite 50 steht.
die unterschiede zu unserem beispiel sind , dass das x jetzt von 2 bis 3 bzw -2 bis -3 geht. y geht nur von 2 bis 3. (Wurzel(4) bzw .Wurzel(9))
das heißt das der ganze obere halbkreis integriert werden muss, daher der bereich für PHI in Polarkoordinaten 0 bis Pi
der radius r muss dann zwischen 2 und 3 sein

und ich glaub dass x = r cos PHI und y = r sin PHI und dass man dann die determinante noch dazu muss ist einfach so, das bleibt immer gleich...
greets

[ghost dog]

so. bekomme nun das selbe wie bei ddawg69 raus :-)
taylor und "steilster abstieg" /bsp 4) muss ich aber noch rechnen.

[ddawg69]

bei steilstem abstieg kommt bei mir raus:

(2/27 , 2/27)

ich denke mal das stimmt, weil es das gleich ergebnis ist wie die eine prüfung, die in der VO durchgerechnet wurde, und beim letzten test waren nur die koordinaten vertauscht.

[Dementis]

Ich hab noch eine Frage zur Polarkoordinatentransformation.
Wie kann ich aus dem ursprünglichen Integrationsbereich den Bereich für die Polarkkordinaten ausrechnen.
danke

[MaxAuthority]

@ddawg69: danke, die erklaerung und nochmaliges genaues lesen des skripts haben geholfen, jetzt versteh ich das beispiel, und hab in b) und c) auch das gleiche ergebnis. Aber bei c) versteh ich nicht, wie man von cosO*sinO nach dO integriert auf sin^2(O)/2 kommt, das hab ich nur vom buch abgeschrieben.

Nach langer ueberlegung hat glaub ich ddawg69 beim 2. bsp recht, wuerds zumindest jetzt selbst auch so machen. Nur kann man eigentlich so leicht zw. polar- und kartesischem koordinatensystem hin- und herspringen? weil cos(PI/2) ist ja nur im polarkoordinatensystem 0, bei der loesung 2)d) verwendest du aber x,y wieder 'normal', sonst wuerd ja nicht (1,0) als loesung rauskommen?

[ddawg69]

@Dementis: Ich mach mir einfach die beiden skizzen so wie auf Seite 50, und dort sieht man dann bei dem rechteck welche grenzen man nehmen muss.
stell dir den ring von skizze 1 einfach aufgebogen vor, dann kommt skizze 2 raus.

@Max: cos x sin x
du musst dir überlegen welche funktion differenziert das ergeben würde:
als ansatz nehme ich mal sin^2 x
das differenziert ergibt -> 2 sin x cos x
ist um das doppelte zuviel, deswegen musst noch 1/2 dazuschreiben -> ergibt dann 1/2 sin^2 x
und wenn du das dann differnzierst bekommst du cos x sin x heraus.
und weil integriern die gegenrichtung ist von differenzieren muss 1/2 sin^2 x passen

2d) hmmm, keine ahnung, ich hab mir gedacht man kann eh alles einfach einsetzen, gar nicht gewußt dass man da auf was achten muss...
weiß leider auch nicht

[ddawg69]

ahja, und weiß vielleicht wie man die Kontraktion von 1/wurzel(2) rechnet...
is vom test vom 2.7.04
kenn mich da nicht wirklich aus...

[ghost dog]

Nach langer ueberlegung hat glaub ich ddawg69 beim 2. bsp recht, wuerds zumindest jetzt selbst auch so machen. Nur kann man eigentlich so leicht zw. polar- und kartesischem koordinatensystem hin- und herspringen? weil cos(PI/2) ist ja nur im polarkoordinatensystem 0, bei der loesung 2)d) verwendest du aber x,y wieder 'normal', sonst wuerd ja nicht (1,0) als loesung rauskommen?
also ich glaub es stimmt, wenn man alles in polarkoordinaten macht. pi ist ja schon ein ziemlicher hinweis. auf jeden fall würde ich bei einen system bleiben und nicht hin&her wechseln.
punkt 2d passt aber eh auch in polar: gradient f(x,y) = (y *cos(xy), x*cos(xy)) also an der stelle (0,1) ergibt das dann ( 1 * cos(0), 0* irgendwas) = (1,0)

[MaxAuthority]

@ghostdog: ja hast recht wegen 2d, hatte da einen denkfehler

danke @ddawg69 wegen Integral von cosO*sinO, jetzt kenn ich mich aus :)

4b hab ich auch -9/8 als 2 minimalstellen
und 4c auch (2/27, 2/27) als ergebnis.

Bei der Kontraktion steh ich selbst noch an, falls ich irgendwas rausfinden sollte, poste ich es natuerlich,aber verlassts euch nicht drauf :)

[absolut]

es geht um das bsp nr. 3 c:

@c: 65/32 (mittels polarkoordinatentransformation)

ich komm einfach nicht auf dieses ergebnis.
1. wenn man so rechnet wie im skriptum nur mit anderen grenzen (2,3) stimmts net.
2. wenn ma so wie im baron buch rechnet (teil3, s.20):
id. mit unserem bsp von den grenzen ( 4 <= x²+y² <=9, y>=0) hier nur x²*y i.d. angabe - stimmts ebendfalls net.

es kommt immer null heraus.

Integral von 2 bis 4: r³
--> r^4/4 --> 81/4 - 16/4 = 65/4
ad 1.
----
65/4*(sin²(phi)/2)
bei Integral von 0 bis Pi kommt dann raus:
65/4*(sin²(Pi)/2 - sin²(0)/2)
= 65/4(0 - 0) --> 0

ad 2.
---
65/4*(-cos²(phi)/2)
bei Integral von 0 bis Pi kommt dann raus:
65/4*(-cos²(Pi)/2 - (-cos²(0)/2))
65/4*(-1/2 + 1/2)
= 0



wie ichs dreh und wend - sogar im mathematica kommt null heraus.
bitte bestätigt mir wer dass die gepostete lösung falsch is...
danke

[lanschi]

Also bei mir kommt auch null heraus!!

[feuerwand]

Bei mir ist es auch 0.

Ich glaub das kommt daher, da die Fläche rechts positiv und links negativ wird und somit hebt sich das ganze auf. Das gleiche passiert wenn ein ganzer Kreis verlangt ist, dort sollte auch immer 0 herauskommen.

[ev1L]

Bei mir ist es auch 0.

Ich glaub das kommt daher, da die Fläche rechts positiv und links negativ wird und somit hebt sich das ganze auf. Das gleiche passiert wenn ein ganzer Kreis verlangt ist, dort sollte auch immer 0 herauskommen.

Stimmt genau.

[stk]

tja schon ein alter thread aber egal:
hät ne frage zu 1d)
ich setzte den punkt in die 1. ableitung ein, dann bekomm ich (8,10) ist klar
aber muss ich dann nicht noch durch die normierung der 1. ableitung?
also 8/wurzel(8^2+10^2), 10/wurzel(8^2+10^2)
=> 8/Wurzel(164), 10/Wurzel(164)
im skriptum steht doch die formel so dort oder?

[stk]

noch ne frage zu 4c)
ich rechne mir ausgehend von x1 den neuen punkt x2 aus
ist bei mir (4/9,-1/9) dann muss ich mir ein neues d2 auch ausrechnen oder?
also den punkt in die 1. ableitung einsetzten und das ergebnis negieren:
d2=(-8/9, 4/9) und damit rechne ich dann analog zu x1 und d1 weiter und komm auf mein endergebnis x3?

[follkorn]

ahja, und weiß vielleicht wie man die Kontraktion von 1/wurzel(2) rechnet...
is vom test vom 2.7.04
kenn mich da nicht wirklich aus...

naja es muss ja |x1-x2| <= q |/wurzel(x1)-1/wurzel(x2)| bewiesen werden

bei 1/wurzel(x gr. 0-x kleiner 1) is das ergebnis immer größer als x
bei allen x größer 1 ist 1/wurzel kleiner als x

Beispiel:
x1: 0,3
x2: 0,9

0,6 <= q |1/wurzel(0,3)-1/wurzel(0,9)|
0,6<=q<=0,7716

Daher ist zwischen allen x größer 0 und allen x kleiner 1 eine kontraktion

[stk]

ok noch ne frage wegen 4c)
hab das jetzt ein paar mal versucht und bin endlich auf meinen rechenfehler gekommen. mein ergebnis für x3(0,1/9)
glaub auch, dass das das richtige ergebnis ist(wow 3 das hintereinander-hattrick!), weil wenn ich dann weiterrechne bekomm ich für x4 (0,0) raus und das ist sicher das minima

[kork]

ad 3c)
0 kommt dann raus wenn man die gesamte fläche auf einmal nimmt (also den "positiven Viertelbogen" und den "negativen Viertelbogen").
Hier muß man einfach den "positiven Viertelbogen" nehmen und mit 2 multiplizieren:
65/8 * 2 = 65/4