View Full Version : [PROBLEM] - Bsp 17
Komme nach der Substitution y' = v(y) auf die DGL v' = 1/(vy) - 1/y.
Wie kann ich das lösen?
Anm.: Ist diese Aufgabe überhaupt als "autonome DGL" zu lösen?
Auf gleichen Nenner bringen, dann isses trennbar.
Ich komm allerdings nach der Substitution auf etwas anderes:
v' = (1-v²)/(vy)
Das kann man jetzt auch trennen, blabla...nur da steh ich dann an, ich komm letztendlich auf v = y' = sqrt(-1/(y*c)+1) als allgemeine Lösung, kann aber dann kein c ausrechnen wenn ich für das AWP einsetz (0 = -1/c ?!) - is das vielleicht gar nicht lösbar ?
Hast recht -> Substitution -> v'vy = 1 - v^2
Laut Maple ist davon das Ergebnis:
v(y) = +/- ((y^2 + C)^(1/2)) / y
...hm, ich frag mich, wie Maple drauf kommt ;)
Für das gesamte AWP soll rauskommen: y(x)=sqrt(x^2-2x+1) (=x-1)
[EDIT]: Hab meinen Rechenweg mal angehängt, ich komm da einfach auf nix, vielleicht sieht ja jemand anderer, wo das Problem is...
hmmm... ich komm auf -x+1 für y(x). knapp daneben?
Mein Rechenweg:
y'' = (1 - y'^2)/y
y' = v
y'' = v*v'
Eingesetzt in obere Gleichung und aufgelöst nach v' ergibt das:
v' = (1-v^2)/(v*y)
Trennbare DGL mit f(y) = 1/y und g(v) = (1-v^2)/v. Die Löse ich dann und bekomme für v:
v = +- sqrt(1-c)/y = y'
EDIT: hier gehört natürlich: +- sqrt(y^2-c)/y = y'
Lösen des AWP mit y = 1 und y' = -1 ergibt c = 0
und somit ist y(x)' = +- 1, wenn man einsetzt. y(x)' = +1 fällt weg, da unsere Angabe fürs AWP besagt, dass y'(0) = -1 sein muss.
daher:
y'(x) = -1
y'(x) integrier ich jetzt einfach und dass ergibt y(x) = -x + c
Löse das nächste AWP:
y(0) = 0 + c = 1
=> c = 1
das ergibt die Lösung:
y(x) = -x + 1
Ich hab die Probe gemacht, bei mir hat sie gepasst.
hmmm... ich komm auf -x+1 für y(x). knapp daneben?
Nein, sollte passen, spuckt auch Maple aus...und die Probe stimmt ja dann auch.
Trennbare DGL mit f(y) = 1/y und g(v) = (1-v^2)/v. Die Löse ich dann und bekomme für v:
v = +- sqrt(1-c)/y = y'
Wie kommst Du auf das ? Bzw. was machst Du anders als ich ? :) Ich sehs einfach nicht...
ich habs so gelöst:
v' = (1-v^2)/v * 1/y
=> f(y) = 1/y
=> g(v) = (1-v^2)/v
das gibt dann:
v/(1-v^2) * dv = 1/y * dy
das integral der linken seite ergibt:
-1/2 * ln(1-v^2)
die rechte seite:
ln(y) + c
wenn ich dann wieder die gleichung hernehme und alles mit exp(...) erweitere, komme ich auf:
1/sqrt(1-v^2) = c*y
1-v^2 = c^2/y^2
und dann:
v = +- sqrt(1- c/y^2) = y'
war das einigermaßen nachvollziehbar? :)
lg
wolfgang
Ja...soweit hab ichs auch (siehe Anhang oben), nur dann der Schritt von
v = +- sqrt(1- c/y^2) = y'
auf
v = +- sqrt(1-c)/y = y'
kommt mir nicht richtig vor...
eine kurze zwischenfrage:
auf welcher seite steht, wie man solche (dgl 2.o.) dgl zu lösen hat?
eine kurze zwischenfrage:
auf welcher seite steht, wie man solche (dgl 2.o.) dgl zu lösen hat?In diesem Fall handelt es sich wohl um eine "autonome DGL", wie in der VO gemacht. Dabei wird die DGL durch Substitution in eine DGL 1.Ordnung übergeführt.
(im Buch habe ich dazu (noch) nichts gefunden)
Ja...soweit hab ichs auch (siehe Anhang oben), nur dann der Schritt von
v = +- sqrt(1- c/y^2) = y'
auf
v = +- sqrt(1-c)/y = y'
kommt mir nicht richtig vor...
ich kann den bruch ja auch als sqrt(1-c)/sqrt(y^2) anschreiben. und aus y^2 kann ich problemlos die wurzel ziehen. den zähler lass ich einfach so stehen.
eine kurze zwischenfrage:
auf welcher seite steht, wie man solche (dgl 2.o.) dgl zu lösen hat?
seite 45, 3.8
eine kurze zwischenfrage:
auf welcher seite steht, wie man solche (dgl 2.o.) dgl zu lösen hat?
Auf Seite 45 steht das "Lösungsverfahren für autonome DGL" und dann gibts noch Beispiele auf der nächsten Seite.
Edit: Ups -zu spät!
Auf Seite 45 steht das "Lösungsverfahren für autonome DGL" und dann gibts noch Beispiele auf der nächsten Seite.
Edit: Ups -zu spät!
danke + danke für die gute erklärung des bsp.!
ich kann den bruch ja auch als sqrt(1-c)/sqrt(y^2) anschreiben. und aus y^2 kann ich problemlos die wurzel ziehen. den zähler lass ich einfach so stehen.
Müsste es nicht so ausschaun:
v = sqrt(1 - (c/y^2))
=> sqrt(y^2 - c)/y ???
Müsste es nicht so ausschaun:
v = sqrt(1 - (c/y^2))
=> sqrt(y^2 - c)/y ???
ja, stimmt absolut. ich habe bei mir (teilweise) schon die anfangswerte eingesetzt, also:
y'(0) = +- sqrt(y(0)^2 - c)/y(0) = -1
deshalb diese werte. war von mir hier blöd aufgeschrieben, weil ich das y im nenner nicht ersetzt hab. ich hoffe, das hat nicht zu viel verwirrung ausgelöst. jetzt aber richtig :D :
v = +- sqrt(1 - c/y^2)
v = +- sqrt(y^2 - c)/y = y'
EDIT: ich hab das jetzt in meinem oberen post (http://www.informatik-forum.at/showpost.php?p=161694&postcount=5) den fehler ausgebessert. sorry @ dose, ich hab da dann ganze zeit blödsinn auf deine einwände geantwortet. danke tuss14, du hast mir die augen geöffnet :shinner:
ähhh, mit der gefahr dass ich mich jetzt wiedermal blamier aber diesen schritt versteh ich gerade überhaupt nicht (es ist allerdings für den mathe bereich meines hirns auch shcon etwas spät)
1/sqrt(1-v^2) = c*y
1-v^2 = c^2/y^2
müsste es nicht 1-v^2 = 1/(c^2*y^2) sein (es steht oben doch c*y und nicht y/c) und folglich v = +-sqrt(1-1/(y^2*c^2)) hmmmmm…
danke mal für aufklärung
Das sind mehrere Schritte in einem:
1/sqrt() = c*y
1/(c*y) = sqrt()
...jetzt c als 1/c darstellen, somit kriegst Du c in den Zähler (unter der Bedingung c != 0)
c/y = sqrt(1-v^2)
...quadrieren
c^2/y^2 = 1-v^2
Das Problem mit dem c is glaub ich auch das, was ich hab ...es müßte doch eigentlich möglich sein, das c auch auszurechnen, wenn ichs nicht dauernd irgendwie hin- und herverwandel (als e^c oder nicht 1/-gerechnetes)...tuts aber nicht, da kommt nur Schwachsinn raus wie 0 = 1 oder 0 = 1/c...irgendwie blick ich langsam nicht mehr durch.
Das sind mehrere Schritte in einem:
…
danke für die erläuterung! mit diesem "rumjonglierereien" tu ich mir immer schwer…ich denke deswegen ist mathe auch nicht so ganz meines…
Ich hab mit dem Rumjonglieren auch im Moment ein großes Problem...ich versteh zwar die ganzen Lösungen, warum und wieso und tralala...aber nicht ganz, warum das überhaupt geht bzw. ich das darf:
(1-v^2)^(-1/2) = y*e^c
Jetzt sag ich, c_1 = e^c, aber müßte jetzt c_1 nicht immer positiv sein ? e^c kann ja nie negativ oder gar null werden...
Dasselbe dann mit c_2 = 1/c_1 ... c_1 dürfte hier nicht 0 sein, und c_2 kann nicht 0 sein...sonst is die Gleichung nicht lösbar, aber genau dieses 0 kommt ja für c_2 raus und alles is wunderbar und stimmt...
Kann mir vielleicht wer erklären was ich hier nicht kapiert hab ? Vielleicht sollt ichs einfach aufgeben bevor ich komplett durchdreh...
Vielleicht hilft das hier weiter:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=25536
(oder war das einer von uns mit diesem Posting? ;) )
Matthias
28-10-2004, 13:03
Vielleicht hilft das hier weiter:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=25536
(oder war das einer von uns mit diesem Posting? ;) )
ein bißchen, nur ein bißchen :)
der matheplanet ist aber auch wirklich super, ich hab die frage gestellt und nach 30 min hatte ich schon einen passenden lösungsansatz.
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