View Full Version : [Frage] bsp. 18
hi
stimmt es dass (a) folgende trennbare DGL ergibt:
I´=16(8-I)
wenn ja mit welchem Ansatz löse ich dann die DGL von (b):
I´=16(4e^(-8t)-I)
komm nicht drauf.
danke.
Keine Ahnung ob die Ansätze stimmen, aber lösen könnte mans als lineare DGL 1. Ordnung...
Bei mir siet die aufgestellte DGL folgendermaßen aus:
L*I' + R*I - E(t) = 0
für a wäre das dann:
0.5*I' + 8*I - 64 = 0
umgewandelt:
I' + 16I = 128
die lös ich dann
für b:
I' + 16I = 64*exp(-8t)
Wie komm ich drauf?
Wegen des gegebenen Hinweises: Die Summe der Spannungsabfälle muss gleich 0 sein.
Spannungsabfall bei Widerstand = R*I
Spannungsabfall bei Induktion = L*I'
Batterie: negativer Abfall, daher denk ich, dass -E(t) passen müsste.
für a wäre das dann:
0.5*I' + 8*I - 64 = 0
umgewandelt:
I' + 16I = 128
die lös ich dann
für b:
I' + 16I = 64*exp(-8t)
passt, des is eh das selbe wie meins. dann wirds schon stimmen…
danke
die Lösung für a ist dann bei mir:
I(t) = 8*(-exp(-16t) + 1)
für b:
I(t) = 8*(-exp(-16t) + exp(-8t))
Bei a gibts kein Maximum, bei b liegt das bei t = ln(2)/8
hat das auch wer?
Wie berechnest du die Maxima?
Die erste Ableitung von I(t) setz ich gleich 0.
Die erste Ableitung von I(t) setz ich gleich 0.
Ok, eigentlich logisch.
die Lösung für a ist dann bei mir:
I(t) = 8*(-exp(-16t) + 1)
für b:
I(t) = 8*(-exp(-16t) + exp(-8t))
Bei a gibts kein Maximum, bei b liegt das bei t = ln(2)/8
hat das auch wer?
mmh..
wie kommst denn du auf das??Hab den gleichen Ansatz wie du.
I'+16I-128=0
Dann ist ja I(t)=I_h(t) + I_p(t)
Das I_h(t) ist ja logischer Weise I_h(t)=C*e^(-16t)
Das I_p(t) berechne ich durch Variation der Konstanten und Integrier dann und da kommt c(t)=8e^(16t) bei mir raus.
Zusamengesetzt ergibt das: I(t)=C*e^(-16t)+8e^(16t)
Hat das wer genauso, oda hab ich mich irgendwo verrechnet??
Das I_p(t) berechne ich durch Variation der Konstanten und Integrier dann und da kommt c(t)=8e^(16t) bei mir raus.
Zusamengesetzt ergibt das: I(t)=C*e^(-16t)+8e^(16t)
Hat das wer genauso, oda hab ich mich irgendwo verrechnet??
Du hast vergessen, dir I_p(t) auszurechnen.
I_p(t) = c(t)*I_h(t) = c(t)*exp(-16t)
wenn du jetzt c(t) einsetzt, hast du
I_p(t) = 8*exp(16t)*exp(-16t) = 8
und I(t) = c*exp(-16t) + 8
Du hast vergessen, dir I_p(t) auszurechnen.
I_p(t) = c(t)*I_h(t) = c(t)*exp(-16t)
wenn du jetzt c(t) einsetzt, hast du
I_p(t) = 8*exp(16t)*exp(-16t) = 8
und I(t) = c*exp(-16t) + 8
Das stimmt doch aber ned so, oda??
I_p(t) ist nicht c(t)*I_h(t) sondern ich rechne mir I_p(t) aus mit dem Ansatz:
I(t)=I_h(t) wobei das C in I_h(t) in C(t) übergeht.
Da kann ich mir dann das C(t) ausrechnen und das setzt ich dann in meinen Ansatz ein oder???
siehs dir im buch auf s. 18 an, bzw. s. 20 beispiel 1
wenn du jetzt c(t) einsetzt, hast du
I_p(t) = 8*exp(16t)*exp(-16t) = 8
Kannst du mir bitte sagen wie du genau auf diese Zeile kommst? Bzw. wie du auf c(t) kommst?
Hab da auch irgendwie einen Denkfehler :confused:
Danke!
Foolish_Genius
28-10-2004, 02:03
Kannst du mir bitte sagen wie du genau auf diese Zeile kommst? Bzw. wie du auf c(t) kommst?
Hab da auch irgendwie einen Denkfehler :confused:
Danke!
Also ich versuche zu antworten:
du hast dein c(t) ausgerechnet (8*e^(16t)) und setzt es nun in I_p(t) = c(t) * e^(-16t) ein ==>
I_p(t) = 8 * e^(16t) * e^(-16t). Naja und da sich die beiden e's gerade "wegkürzen" (e^(16t) * e^(-16t) = e^(16t - 16t) = e^0 = 1) kommt nur 8 raus ;)
ich hoff ich habs richtig verstanden & erklärt...
bei a) stimme ich zu
bei b) komme ich auf etwas anderes!
die berechnung mit der variation der konstanten ist in diesem skriptum sehr ungünstig erklärt!
schaut mal auf http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node182.html - hier wird das ganze meiner meinung nach besser erklärt!
bei b) kürzt sich der term mit c(t) weg und es bleibt über c(t)=int(s(t)*e^int(+a(t)dt)dt=4*e^8t
jetzt setzt man das ein in Ip(t) und erhält I(t)=c*e^-16t+4*e^-8t
oder ist hier etwas falsch?
aja nochwas!
der maximale strom für a) beträgt in unserem sehr praxisorientierten bsp 8 ampere ;-) einfach limes gegen unendlich streben lassen!
bei b) dürfte der ansatz über I' richtig sein
bei b) kürzt sich der term mit c(t) weg und es bleibt über c(t)=int(s(t)*e^int(+a(t)dt)dt=4*e^8t
jetzt setzt man das ein in Ip(t) und erhält I(t)=c*e^-16t+4*e^-8t
oder ist hier etwas falsch?
Hab das Ergebnis genauso wie du nur hinten keinen 4er sondern nen 8ter.
Also ich versuche zu antworten:
du hast dein c(t) ausgerechnet (8*e^(16t)) und setzt es nun in I_p(t) = c(t) * e^(-16t) ein ==>
I_p(t) = 8 * e^(16t) * e^(-16t). Naja und da sich die beiden e's gerade "wegkürzen" (e^(16t) * e^(-16t) = e^(16t - 16t) = e^0 = 1) kommt nur 8 raus ;)
ich hoff ich habs richtig verstanden & erklärt...
Ja danke, den Teil hab ich auch so verstanden. Ich komm nur nicht auf c(t) = 8*e^16t. :hewa:
Bitte sag mir noch wie du darauf kommst!
Matthias
28-10-2004, 13:09
Hab das Ergebnis genauso wie du nur hinten keinen 4er sondern nen 8ter.
Ich auch. und wenn du dann das AWP löst, kommst du auf -8 für c, also die selbe Lösung die thewulf hatte. Hab die Probe gemacht (also in die ursprüngliche DGL einsetzen) und es stimmt.
Foolish_Genius
28-10-2004, 14:33
Ja danke, den Teil hab ich auch so verstanden. Ich komm nur nicht auf c(t) = 8*e^16t. :hewa:
Bitte sag mir noch wie du darauf kommst!
Gut, also ich probiers ;-)
du hast die Lösung der homogenen Gleichung: I_h = c * e^(-16t).
Dann berechnest du I_p mit Variation der Konstanten: Ansatz: I_p = c(t) * e^(-16t).
Du leitest I_p einmal ab: I'_p = c'(t)*e^(-16t) + c(t)*(-16)*e^(-16t) (Produktregel!).
So, jetzt setzt du das in die ursprüngliche DGL (I' + 16I - 128 = 0) ein:
c'(t)*e^(-16t) + c(t)*(-16)*e^(-16t) + 16*c(t)*e^(-16t) - 128 = 0
Du siehst dass sich c(t)*(-16)*e^(-16t) + 16*c(t)*e^(-16t) gerade wegkürzt. Dann hast du nur mehr dortstehen:
c'(t)*e^(-16t) - 128 = 0 ==> c'(t)*e^(-16t) = 128 ==> c'(t) = 128 * e^(16t)
Das integrierst du ==> c(t) = 8*e^(16t).
Ich hoff jetzt isses klar ;-)
Ich auch. und wenn du dann das AWP löst, kommst du auf -8 für c, also die selbe Lösung die thewulf hatte.
hab auch dasselbe ergebniss bin zu diesem allerdings über einen unbestimmten Ansatz der rechten seite (64e^-8t) gekommen, scheint mir leichter als mit variation der konstanten…
Matthias
28-10-2004, 17:27
hab auch dasselbe ergebniss bin zu diesem allerdings über einen unbestimmten Ansatz der rechten seite (64e^-8t) gekommen, scheint mir leichter als mit variation der konstanten…
wie funktioniert dieser ansatz? hab im buch nicht wirklich was brauchbares dazu gefunden.
Gut, also ich probiers ;-)
du hast die Lösung der homogenen Gleichung: I_h = c * e^(-16t).
Dann berechnest du I_p mit Variation der Konstanten: Ansatz: I_p = c(t) * e^(-16t).
Du leitest I_p einmal ab: I'_p = c'(t)*e^(-16t) + c(t)*(-16)*e^(-16t) (Produktregel!).
So, jetzt setzt du das in die ursprüngliche DGL (I' + 16I - 128 = 0) ein:
c'(t)*e^(-16t) + c(t)*(-16)*e^(-16t) + 16*c(t)*e^(-16t) - 128 = 0
Du siehst dass sich c(t)*(-16)*e^(-16t) + 16*c(t)*e^(-16t) gerade wegkürzt. Dann hast du nur mehr dortstehen:
c'(t)*e^(-16t) - 128 = 0 ==> c'(t)*e^(-16t) = 128 ==> c'(t) = 128 * e^(16t)
Das integrierst du ==> c(t) = 8*e^(16t).
Ich hoff jetzt isses klar ;-)
DANKE! Ja, jetzt isses klar! Ich sollt echt mehr Integrieren üben... :rolleyes:
vBulletin® v3.7.1, Copyright ©2000-2008, Jelsoft Enterprises Ltd.