Bsp 7

[mjell]

Hallo. Ich stehe grade voll bei Bsp 7 an.
Kann mir wer bitte einen denkanstoß geben wie ich es lösen kann.

Danke

[thebigMuh]

:)

Also, wir haben eine (nicht exakte, kannst du ausprobieren) Differentialgleichung gegeben, und den passenden integrierenden Faktor gleich dazu.

Zuerst mußt du überprüfen, ob der iF auch wirklich richtig ist. Also einfach die gesamte Gleichung mit 1/(x³y³) multiplizieren, und dann A nach y und B nach x ableiten. Wenn du dich nicht verrechnest, kommt auf beiden Seiten -2/(x³y³) heraus, damit haben wir gewonnen (und der Beispielschreiber hat uns kein Ei gelegt).

Dann eigentlich nur mehr nach Kochrezept die Stammfunktion U(x, y) bestimmen, indem du (großes I heißt integrieren):

-) U(x, y) = I[A dx] + f(y) bestimmen. Also A nach x integrieren, und hinten f(y) anhängen.

Wenn du richtig gerechnet hast dann kommt dabei -(x^-2*y^-2)/2 + f(y) heraus.

-) Das Ergebnis von oben jetzt nach y DIFFERENZIEREN. Wenn wir im Honigkäsekuchenland wären, würde jetzt bereits B dortstehen, tut es aber nicht, sondern x^-2y^-3 + f'(y).

-) Das heißt die Differenz zwischen B und unserem Uy steckt in dem f'(y) drinnen. Also einfach f'(y) gleich dem Rest von B setzen (-3y^-1 = f'(y)), beidseitig integrieren, und freuen wenn f(y) = -3ln|y| herauskommt.

Das fertige U lautet dann:

U(x, y) = -(x^-2 y^-2)/2 - 3ln|y| = C


Ciao, ¡muh!

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[mjell]

:)


Zuerst mußt du überprüfen, ob der iF auch wirklich richtig ist. Also einfach die gesamte Gleichung mit 1/(x³y³) multiplizieren, und dann A nach y und B nach x ableiten.

So hier liegt mein denkproblem denk ich ;)
ich habe ja ydx +.......dy = 0 ja gegeben.
nach dem multiplizieren komme ich ja auf
(1/(xy)^3)*ydx + (1/(xy)^3).......... = 0

und hier stören mich die dx und dy.
Was passiert mit denen? Ich steh voll an

[thebigMuh]

A dx + B dy = 0

ist genau das gleiche wie

A + B y' = 0

Du ignorierst sie einfach :) A ist das erste Ding, ohne dx, und B ist das zweite Ding, ohne dy.

Ciao, ¡muh!

[mjell]

A dx + B dy = 0

ist genau das gleiche wie

A + B y' = 0

Du ignorierst sie einfach :) A ist das erste Ding, ohne dx, und B ist das zweite Ding, ohne dy.

Ciao, ¡muh!


ok bei A komm ich jetzt auf

2
- -----
3 3
x y

Bei b komme ich aber nicht darauf.. egal was ich mache...

edit: Ich habs :) danke

[arved]

-) Das heißt die Differenz zwischen B und unserem Uy steckt in dem f'(y) drinnen. Also einfach f'(y) gleich dem Rest von B setzen (-3y^-1 = f'(y)), beidseitig integrieren, und freuen wenn f(y) = -3ln|y| herauskommt.


Hier stehe ich, wie kommt ihr auf den "Rest von B"?
Im Buch wurde doch soweit ich das verstanden habe mit B gleich gesetzt.

[thebigMuh]

OK:

Uy soll im Endeffekt unser B sein. Denn A = Ux und B = Uy.

Also:

Uy = B

Unser Uy sieht im Moment so aus: (irgendein Term) + f'(y)
Unser B sieht so aus: (irgendein Term) + (irgendein anderer Term)

Also setzt man

(irgendein Term) + f'(y) = (irgendein Term) + (irgendein anderer Term)

Dadurch fällt natürlich das "irgendein Term" weg, und wir haben effektiv f'(y) gleich dem Rest von B gesetzt :)

Ciao, ¡muh!

[arved]

Unser Uy sieht im Moment so aus: (irgendein Term) + f'(y)
Unser B sieht so aus: (irgendein Term) + (irgendein anderer Term)

Also setzt man

(irgendein Term) + f'(y) = (irgendein Term) + (irgendein anderer Term)

Dadurch fällt natürlich das "irgendein Term" weg, und wir haben effektiv f'(y) gleich dem Rest von B gesetzt :)


Wahrscheinlich sollte ich um diese Uhrzeit echt schon schlafen, und morgen früh verstehe ich dann alles, aber

(x^-2y^-3) - 3/y ergibt bei mir auf den selben nenner gebracht:
1-3x^2y^2/x^2y^3, sprich mir fehlt ein x im Zähler, da B ja x * (1-3x^2y^2) ist.

*gähn*

[thebigMuh]

Wieso willst du es auf den gleichen Nenner bringen???

Uy ist:

(x^-2*y^-3) + f'(y)

Und B ist:

(x^-2*y^-3) - 3/y

Und das setzt du jetzt einfach gleich. Naja, und f'(y) = -3/y.

Ciao, ¡muh!

[arved]

Wieso willst du es auf den gleichen Nenner bringen???
Uy ist:
(x^-2*y^-3) + f'(y)
Und B ist:
(x^-2*y^-3) - 3/y
Und das setzt du jetzt einfach gleich. Naja, und f'(y) = -3/y.


Danke für Deine Geduld übrigens. Ich habe da echt ein Brett vorm kopf.

Ich verstehe eben nicht wie Du von x(1-3x^2y^2) * M auf (x^-2*y^-3) - 3/y kommst.

[dose]

Hm, ich krieg U(x,y) = -1/(2*x^2*y^2)-3 ln|y| ...

A dx + B dy = 0

ist genau das gleiche wie

A + B y' = 0

Du ignorierst sie einfach A ist das erste Ding, ohne dx, und B ist das zweite Ding, ohne dy.

Ignorieren ist etwas übertrieben, Du dividierst die ganze Gleichung mal durch dx und dy/dx = y' ... :)

[thebigMuh]

Geduld hab' ich genug, bin selbst kein Mathegenie.

B = x * (1 - 3x²y²)

==> x - 3x³y²

M = x-³y-³

B * M = (x - 3x³y²) * (1/x³y³)

==> (x / x³y³) - (3x³y² / x³y³)

Kürzen:

==> (1 / x²y³) - (3 / y)

Fertig, das ist unser B * M.

Ciao, ¡muh!

[thebigMuh]

Hm, ich krieg U(x,y) = -1/(2*x^2*y^2)-3 ln|y| ...


Das ist das gleiche :) Ich schreibe halt lieber negative Exponenten, als 1 / ...

Ciao, ¡muh!

[dose]

Das ist das gleiche :) Ich schreibe halt lieber negative Exponenten, als 1 / ...

Ciao, ¡muh!
Ahja...das hab ich einfach dezent überlesen ;)