Ansatz zu Bsp 2.11)

[LordOfTheBite]

hier ist M = x^alpha*y^beta schon vorgegeben

wir rechnen also gleich [(A*M) nach y diff = (B*M) nach x diff] aus
A = 4xy+3y^4
B = 2x^2+5xy^3

in der schrecklichen gleichung die entsteht kann man alle irgendwas ^ alpha und alle irgendwas ^ beta wegbekommen, indem man die ganze zeile mit x^-alpha*y^-beta multipliziert (potenzen multiplizieren durch hochzahlen addieren -> alle alpha/beta in hochzahlen fallen weg)

dann vereinfacht man so lange bis man auf jeder seite nur mehr x*(...) + y^3*(...) hat

dann macht man koeffizientenvergleich der x terme, und koeffizientenvergleich der y^3 terme, und bekommt dadurch 2 gleichungen in alpha und beta

-> loesen -> alpha ist 2, beta ist 1

dann multipliziert man die diffgl mit x^2*y und prueft nochmal nach ob sie jetzt exakt ist (wenn nicht hat man sich verrechnet beim exaktheitstest *gg*)

dann loest man die nun exakte durch integrieren von A nach dx, differenzieren dieses ergebnisses nach y, gleichsetzen mit B und ausrechnen von C'(y)

C'(y) = 0 ist das bemerkenswerte ergebnis, die loesung davon ist einfach C(y) = C1 also eine waagrechte gerade in beliebiger hoehe

die gesamtloesung ist U(x,y) = x^4 + x^3*y^5 = konstant (C1 laesst sich durch das "konstant" was eh durch die implizitheit vorgegeben ist wegstreichen)

[reddi]

bist du dir sicher, dass das ganze so geht?

wenn ich das ganze gleichsetze, habe ich 2 unbekannte aber nur 1 gleichung!

kannst du deine rechenschritte vll. einscannen?

[LordOfTheBite]

also wir haben es zusammen insgesamt 3mal durchgerechnet und sind dann alle zu einem ergebnis gekommen ;)

es wird jedenfalls exakt durch die methode.

[thebigMuh]

So hab ich's gemacht:

Unser A ist 4xy + 3y^4
Unser B ist 2x^2 + 5xy^3

und wir wissen, das unser M die Form x^a*y^b hat.

Dann multiplizieren wir einmal fröhlich das M in unser A und B hinein, und leiten A*M auch gleich nach y, und B*M nach x ab:

[A*M]y = 4*(b+1)*x^(a+1)*y^b + 3*(b+4)*x^a*y^(b+3)

[B*M]x = 2*(a+2)*x^(a+1)*y^b + 5*(a+1)*x^a*y^(b+3)

Da fällt einem auf, daß nur die Koeffizienten nicht übereinstimmen, die x^ und y^ passen alle.

Dadurch kann man die Koeffizienten der beiden "Grüppchen" gleichsetzen, denn die müssen ja übereinstimmen, damit unsere Integrabilitätsbedingung erfüllt ist.

Also: 4*(b+1) = 2*(a+2) und 3*(b+4) = 5*(a+1)

Naja, und wenn man das ausrechnet, kommt einem halt b = 1 und a = 2 raus.

Ciao, ¡muh!

[Matthias]

die gesamtloesung ist U(x,y) = x^4 + x^3*y^5 = konstant (C1 laesst sich durch das "konstant" was eh durch die implizitheit vorgegeben ist wegstreichen)

hier fehlt bei dir glaub ich ein y^2:
U(x,y) = x^4y^2 + x^3*y^5 = konstant