ansatz zu bsp 2.14

[LordOfTheBite]

die gleichung laesst sich so umformen, dass nur noch eine funktion von y/x rechts steht, und y' links, und zwar:

y' = y(y+x) / x^2 = y/x * (y+x)/x = y/x * (y/x + 1) = [substitution v=y/x] = v(v+1)

v=y/x
-> y = v*x
-> y' = v'*x + v

=> gleichung wird zu v'*x + v = v(v+1) = v^2 + v
=> v weg => v'*x = v^2 => elementar loesen

ergebnis ist dann y = -x/(lnx + C) und durch anfangsbedingung wird C=-1

[thebigMuh]

OK, outing als Mathedrottel:

v' / v² = 1 / x

das int( 1/x ) = ln|x| ist, hab sogar ich mir schon gemerkt. Aber wie integrier ich v'/v²?

Ciao, ¡muh!

[Matthias]

OK, outing als Mathedrottel:
v' / v² = 1 / x

das int( 1/x ) = ln|x| ist, hab sogar ich mir schon gemerkt. Aber wie integrier ich v'/v²?


ehm, gar nicht :)

also du solltest auf v' = 1/x * v^2 kommen.

dann integrierst du 1/x -> ln x
und 1/v^2 = v^(-2) = -1 * v^(-1) = -1/v.

klar?

[thebigMuh]

Jain :D

Sorry, daß ich so langsam bin, aber es war ein langer Tag...

Ich habe:

v' = v²/x

Soweit ist das klar.

Das ganze Ding ist jetzt eine Gleichung - ich kann ja nicht einfach irgendwelche Teile rausreißen, integrieren und wieder hineinstopfen.

Wieso kommst du auf einmal auf 1 / v²? Es ist ja v' / v² (wenn man das v² auf dieselbe Seite wie v' bringt), oder? Ich dürfte da irgendwie ein Grundsatzproblem haben.

Ciao, ¡muh!

[Matthias]

warum willst du das v^2 unbedingt auf die v' seite bringen?
wenn du v' = v²/x hast, dann kannst du ja einfach die trennung der variablen anwenden.
also f(x) = 1/x und g(v) = v^2

1/g(v) dv = f(x) dx

....

[thebigMuh]

DANKE

Das war der berühmte "missing link"!

Nach intensivem Blättern in meinen Mathe 2 Unterlagen (ist schon ein Zeiterl her), hab ich das mit Trennung der Variablen wiedergefunden... Jetzt ist alles klar :thumb:

Ciao, ¡muh!