bsp16

[Ubik]

Hat jemand eine Idee?
Wie löst man x'(t) = (a - b*x(t)) * x(t) ?

[Matthias]

das kann man mit Trennung der Variablen lösen:
x' = ax - bx^2 => ax-bx^2 -x' = 0
g(x) = ax -bx^2
f(t) = 1

und das dann wie gehabt lösen. Für x(t) und dem AWP bekomme ich dann

(a * x_0 * e^(-a*t_0)) / (b * x_0 * e^(-a*t_0) + (a - b * x_0) * e^(-a*t))

für den Grenzwertbeweis sieht man, dass e^(-a*t) gegen 0 geht, daher fällt der gesamte Term dort weg und man kann beim Rest so durchkürzen, dass man auf a/b kommt.

[grassi3000]

kannst du mir bitte erklären, wie du nach dem integrieren auf deinen ausdruck oben kommst, und wie du beim lim dieses ausdruckes auf a/b kommst

wenn ich von deinem ausdruck den lim bilde, dann fällt für mich alles weg, und ich erhalte ein stiliertes "0/0" (oder hast du da noch l'hospital) angewandt?

[Matthias]

kannst du mir bitte erklären, wie du nach dem integrieren auf deinen ausdruck oben kommst, und wie du beim lim dieses ausdruckes auf a/b kommst

wenn ich von deinem ausdruck den lim bilde, dann fällt für mich alles weg, und ich erhalte ein stiliertes "0/0" (oder hast du da noch l'hospital) angewandt?

ich bekomme für x allgemein auf a*C / (b*C + e^(-at))
das integral funktioniert über partialbruchzerlegung, hab leider nicht die zeit da jetzt alle schritte aufzuschreiben.

damit löst du dann das AWP x(t_0) = x_0 und drückst dir C aus:
C = (x_0 * e^(-a * t_0))/ (a - x_0 * b)

beim lim kürzt sich nicht alles weg, da nur t gegen unendlich strebt, nicht aber t_0!!

[grassi3000]

achso, dein voriger ausdruck ist schon die vollständige lösung ...

das erklärt einiges

[grassi3000]

ok, habs jetzt grad mit der partialbruchzerlegung versucht:

A/x + B/(a+bx)

allerdings glaub ich, dass mein A und B nicht stimmt, oder hab ich falsch aufgeteilt?

Mein A ist 1/a und das B ist -a/b

Edit: den näcshten fehler gefunden

[grassi3000]

sry für den 3fach post, aber ein edit schaut keiner mehr an.

ich hab meinen fehler in der partialbruchzerlegung gefunden. Die sollte richtig sein, hab integriert, gekürzt, e-hoch genommen und nun hab ich:
e^-a * x *(a-bx) = c*e^t

nur weiß ich jetzt nicht, wie ich auf dein ergebnis komm ... denn eigentlich hab ich ja ein x^2 drinnen, du nur x