bsp. 9

[morgan]

ist dieses bsp. eine lin. homogene DFG 1.ordnung, dh. muss ich sie über den Ansatz y(x) = c*e^(-A(x) mit A(x) = -integr(x^2/(1+x^3)) lösen? wenn ja scheitere ich wieder mal an diesem integral…damn!
kann mir wer helfen?!?

edit:
mathematica hat mir schon geholfen -integr(A(x)) = - ln(1+x^3)/3. aber wieso?

[thebigMuh]

Ich hab's mir irgendwie anders vorgestellt...

Ich hab' mir einen integrierenden Faktor ausgerechnet (welcher sich wunderschön als y^-4 präsentiert hat), und dann das Ding wie eine exakte DGL gelöst.

Mir kommt dabei U(x, y) = - x^3/3y^3 - 4/y^3 = C heraus.

Aber - was jetzt? y(1) = 2 ist als AW gegeben... wie fummel ich das da oben rein? Ist das mit der exakten DGL überhaupt Humbug, und ich hab kompletten Stumpfsinn gerechnet?

Ciao, ¡muh!

[LordOfTheBite]

naja, einfach fuer x eine 1 und fuer y eine 2 einsetzen und du kriegst das C heraus, das ist deine loesung des AWP (falls die loesung fuer U(x,y) stimmt)

[thebigMuh]

D'oh!

Es sind die kleinen Dinge, die zählen :)

Danke!

Ciao, ¡muh!

[Foolish_Genius]

ja, y^-4 scheint zu stimmen, nur komm ich da nicht drauf :-(
kannst du mir vl. kurz sagen wie du drauf kommst?

Mein Weg soweit: (1+x^3) ist mein B, (-x^2*y) ist mein A, oder?
Integrabilitätsbed. wäre dann: A nach y ableiten ==> -x^2, B nach x ableiten: 3x^2 ==> nicht erfüllt ==> man sucht daher einen integr. Faktor m(y)....

Es muss danach gelten: (m(y) * A) nach y abgeleitet = (m(y) * B) nach x abgeleitet oder?

Wenn ich das m(y) ausrechne komme ich einfach nie auf y^-4. Hab ich da bis jetzt einen (denk-)Fehler?

Danke schonmal für die Hilfe ;-)

[thebigMuh]

Nö, ist ganz richtig. Rechenfehler nehm' ich an :)

Nach y abgeleitet ist A * m(y): -x² * m(y) - x²y * m'(y) (nicht auf die Kettenregel hier vergessen, da m(y) ja eine Funktion von Y ist, darf man sie nicht wie eine Konstante behandeln!)

Nach x abgeleitet ist B * m(y): -3x²*m(y)

Nach Einsetzen und herumkürzen kommt man damit auf:

-4/y = m'/m

Und nach dem Integrieren somit auf y^-4

Ciao, ¡muh!

[Foolish_Genius]

Danke zuerst einmal :)


Nach x abgeleitet ist B * m(y): -3x²*m(y)


Hier hab ich B * m(y): +3x²*m(y) (also plus 3), ich glaub aber dass plus auch stimmt (tippfehler?), weil auf -4/y = m'/m komm ich auch :-)

Nur das mit dem y^-4 krieg ich noch nicht hin, aber das sollte zu schaffen sein - ich weiß jetzt wenigstens dass ich soweit am richtigen Weg bin.

Danke nocheinmal! :thumb:

[thebigMuh]

Wupsi :)

Ja, +3 stimmt, -3 ist falsch.

Ciao, ¡muh!

[Matthias]

Danke zuerst einmal :)
Nur das mit dem y^-4 krieg ich noch nicht hin, aber das sollte zu schaffen sein - ich weiß jetzt wenigstens dass ich soweit am richtigen Weg bin.


ok, du kommst also auf h(y) = -4/y.

Dann machst du ja m(y) = e^(int(h(y) dy)). Das Integral ergibt -4 ln y, also hast du e^(-4 ln y).
Das kann man auch so schreiben:
(e^(lny))^(-4).
e^ln y = y, daher y^-4 = 1/y^4.

[Tuss14]

Mir kommt dabei U(x, y) = - x^3/3y^3 - 4/y^3 = C heraus.


Bei mir kommt
U(x, y) = - x^3/3y^3 - 4/y^5 = C heraus.

weil bei mir für c'(y) = y^(-4) herauskommt

und integriert ergibt das

c(y) = -4/y^5

kann das stimmen?

[Matthias]

Bei mir kommt
U(x, y) = - x^3/3y^3 - 4/y^5 = C heraus.

weil bei mir für c'(y) = y^(-4) herauskommt

und integriert ergibt das

c(y) = -4/y^5

kann das stimmen?

y^(-4) integriert ergibt -1/(3y^3)!

[thebigMuh]

Yup, da hab ich mich verschrieben :P

Wä. Ich mag nimmer.

Ciao, ¡muh!

[Tuss14]

y^(-4) integriert ergibt -1/(3y^3)!

sicher?!

Mist, bei mir haperts wirklich voll beim Integrieren :shinner: ...

[Matthias]

ja, sicher (matlab).

[dose]

Hm, ich hab das "einfach" mit Trennung der Variablen berechnet und krieg dann ein bissl was anderes raus:
y = (1+x^3)^(1/3)*e^c
...wobei das dürft wurscht sein, wenn man den integrierenden Faktor dann e überall hat, dumdidum.

[Tuss14]

ja, sicher (matlab).
na da kann ich dann nix mehr sagen ;)

[arved]

-integr(A(x)) = - ln(1+x^3)/3. aber wieso?

Hm, ja der Frage möchte ich mich anschliessen..

*logarithmen werden mein Tod sein..*

[Lord Binary]

Quote:
Originally Posted by morgan
-integr(A(x)) = - ln(1+x^3)/3. aber wieso?


Hm, ja der Frage möchte ich mich anschliessen..Hint: Wer weiß, daß Integral(f'(x)/f(x))dx =
ln (abs (f(x))) gilt, (eine direkte Folgerung der Subsitutionsregel), und erkennt, daß dieser Fall (so gut wie
, -> 1/3) vorliegt, der kann das auch nachvollziehen ...