Bsp 7

[Mr. Zet]

Man soll jeweils prüfen ob für die Funktionen in a), b) und c) die Ableitungen fxy und fyx übereinstimmen.

7 a)

f(x,y) = x² / (1 + y²)

fx = ( 2x(1 + y²) -x2(0) ) / (1 + y²)² = 2x / (1 + y²)

fxy = (0 -2x2y) / (1 + y²)² = -4xy / (1 + y²)²

fy = (0(1 + y²) - x²2y) / (1 + y²)² = -2x²y / (1 + y²)²

fyx = (-4xy(1 + y²)² - 2x²y*2(1 + y²)*0) / (1 + y²)4 = -4xy(1 + y²)² / (1 + y²)4 = -4xy / (1 + y²)²

fxy = fyx

7 b)

da bin ich mir nicht so sicher, ex abgeleitet ja ex ist, aber wie ist das bei ex²? ist dass dann wieder ex² oder gibt es da noch eine innere Ableitung oder so?
angenommen ex² ist abgeleitet ex², dann ist es so:

f(x,y) = x³ey²

fx = 3x²ey²

fxy = 3x²ey²

fy = x³ey²

fyx = 3x²ey²

womit wieder fxy = fyx wäre...

7 c)

f(x,y) = sqrt(xy³) = (xy³)1/2

fx = y³ / 2(xy³)1/2

fxy = ( 3y²*2(xy³)1/2 - y³*(xy³)-1/2*3xy² ) / 4(xy³)

fy = 3xy² / 2(xy³)1/2

fyx = ( 3y²*2(xy³)1/2 - 3xy²*(xy³)-1/2*y³ ) / 4(xy³)

fxy = fyx (keine lust das zu vereinfachen (falls das überhaupt geht ;)))

[Studigel]

Habs jetzt auch durchgerechnet obwohl es ja eigentlich reichen müsste zu behaupten bzw. beweisen dass die 3 Funktionen alle stetig sind (offensichtlich) und fxy und fyx existieren (bei a wegen Grad >2 und bei b,c wegen Kettenregel).

Bei b) müsste es heißen 3x²*2y*e^y² weil du ja die Kettenregel verwendest.

Sonst stimmt das soweit ich sehe.

[Mr. Zet]

Ok, danke, war mir da eben nicht sicher, aber ist ja eigentlich logisch, dass man hier die Kettenregel braucht und es damit eine innere Ableitung gibt.

daher:
7 b)

f(x,y) = x³ey²

fx = 3x²ey²

fxy = 3x²ey²2y

fy = x³ey²2y

fyx = 3x²ey²2y

=> fxy = fyx

[Dscho]

also zu bsp 7c:

fx und fy hab ich auch so raus bekommen...

für fxy bzw. fyx hab ich folgendes gemacht:

und zwar fx bzw fy nach der Produktregel (u+v)´ differenzieren

u=y3
u´=3y^2
v=(xy^3)^(-1/2)
v´=(-1/2)*3xy^2*(xy^3)^(-3/2)

fxy=1/2 *(u+v)´= 1/2 * (u´v+vú) -->

wenn man dann einsetzt, heraushebt und kürzt bekommt man...

fxy = 3/2*y^2*(xy^3)^(-1/2)*[1-(1/2)*(xy^3)^(-1) * xy^3)]=
= 3/4*y2*(xy^3)^(-1/2)

analog für fyx= 3/4*y2*(xy^3)^(-1/2)

fxy=fyx

Allerdings glaub ich, dass es noch einfacher gehen muss (wie Studigel schon zuvor gepostet hat!!!)... Man muss ja nur zeigen, dass die Funktion stetig ist und einen Grenzwert besitzt damit fxy=fyx gilt... nur weiß ich leider nicht, wie man den Grenzwert von einer Funktion
f(x,y) bestimmt. --> so würde man sich die ganze Rechnerei ersparen!!!

Wie weist man den Grenzwert bzw Stetigkeit nach?

[Murmel]

fxy = fyx (keine lust das zu vereinfachen (falls das überhaupt geht ;))) Macht (3*(x*y)^(-1/2))/4
Wenn man in solchen Beispielen alles anfangs und zwischendurch auf die Form a*x^b*y^c bringt erleichtert das das Differenzieren ungemein, weil man fast immer nur die x^a ergibt a*x^(a-1)-Differenziationsregel anwenden muss, und die vereinfachte Form kriegt man am Schluss auch automatisch raus.

lG,
Murmel

[Mr. Zet]

Ich hoffe du hast dich nur verschrieben und "integrierst" nicht wirklich so sondern differenzierst ;)

Danke jedenfalls für den Tipp

[Murmel]

Ich hoffe du hast dich nur verschrieben und "integrierst" nicht wirklich so sondern differenzierst ;)

Danke jedenfalls für den Tipp :D stimmt hab ich mich doch glatt verschrieben, danke für den Hinweis.

lG,
Murmel

[Schoaf]

fyx = (-4xy(1 + y²) - 2x²y*2(1 + y²)*0) / (1 + y²)4 = -4xy(1 + y²) / (1 + y²)4 = -4xy / (1 + y²)²
da hast Du über dem Bruchstrich das ² vergessen. ;-)

[Mr. Zet]

Thx, habs ausgebessert (für die nachwelt :D)

[brewman]

im a) is in der ausarbeitung fehler: im quotienten hast du das 1+y^2 nicht quadriert laut quotientenregen...

[Mr. Zet]

im a) is in der ausarbeitung fehler: im quotienten hast du das 1+y^2 nicht quadriert laut quotientenregen...

geht es vielleicht etwas genauer?, habe mir das jetzt 10 minuten angeschaut und kann bei a) keinen fehler finden... (und die lösung stimmt sowieso ganz sicher)

[aldous]

geht es vielleicht etwas genauer?, habe mir das jetzt 10 minuten angeschaut und kann bei a) keinen fehler finden... (und die lösung stimmt sowieso ganz sicher)
Wieso stimmt die sicher? Er hat nur zweimal den selben Fehler gemacht.

Richtig wäre (wenn ich nicht irre):
f_x = 2x (1+y^2)^(-1)
f_xy = 2x (-(1+y^2)^(-2))*2y = -4xy / (1+y^2)^2



aldous

[Georg]

Richtig wäre (wenn ich nicht irre):
f_x = 2x (1+y^2)^(-1)
f_xy = 2x (-(1+y^2)^(-2))*2y = -4xy / (1+y^2)^2


hab ich auch so :thumb:

[Mr. Zet]

na toll...
2x (1 + y2)-1 = 2x / (1 + y2)

das ist der einzige unterschied zwischen dem was ihr beide als lösung habt, und dem was ich im ersten post geschrieben habe
weil fxy ist auch ident.
was euch an meiner lösung nicht passt, ist mir weiterhin ein rätsel :confused:

[jay]

ich hab ne frage zu c) und zwar, was das umformen betrifft..

f(x,y) = sqrt(x*y³) = (x*y³)^(1/2)

hier im forum und im lösungs pdf von einstein2000 wird dann damit weitergerechnet. aber kann man den ausdruck nicht noch weiter umwandeln zu:

(x*y³)^(1/2) = x^(1/2)*y³^(1/2) = x^(1/2)*y^(3/2)

hab ich da irgendeine regel gebrochen?

[mdk]

aber kann man den ausdruck nicht noch weiter umwandeln

Ja.

[stu5]

naja, und die Quotientenregel muss man in dem Fall (7a) beim ersten mal ja auch gar nicht anwenden, da y nur im Nenner vorkommt, oder täusch ich mich da?

[mdk]

naja, und die Quotientenregel muss man in dem Fall (7a) ja auch gar nicht anwenden, da y nur im Nenner vorkommt, oder täusch ich mich da?

Ja, bei der Ableitung nach x kann man sich das ersparen.