dose
17-06-2002, 13:22
OK, nach einer durchgemachten Nacht voller AlgoDat, Mathe und Kaffee, hab ich mal alle Mathebeispiele (die zugegeben dieses Mal eher einfach waren) gelöst und bitteschön, hier sind die Ergebnisse ! (jaja, ich weiß, es wird dringend nötig, daß ich LaTeX lern, vielleicht schaff ichs ja übern Sommer für Mathe2 dann ;) Ansonsten: ASCII r0x !)
[56]
Vektoren: x=(3,-1,2), y=(2,-3,-1), z=(1,2,2)
a) (sqrt=Wurzel)
||x||=sqrt(3²+1²+2²)=sqrt(14)
||y||=sqrt(2²+3²+1²)=sqrt(14)
||z||=sqrt(1²+2²+2²)=sqrt(9)=3
b)
Winkel(x,y) = cos phi = (x*y) / ( ||x||*||y|| ) = (6+3-2) / (sqrt(14)*sqrt(14)) =
= 7 / 14 = 1 / 2 => phi = 60°
c) (X = Kreuzprodukt)
V=(x X y)*z
x X y = (1+6,-(-3-4),-9+2) = (7,7,-7)
(x X y)*z = 7 + 2*7 - 2*7 = 7
==========================================
[57] (analog zur Vorlesung, nur mit größeren Matrizen)
R1 R2 R3
1.Woche / 8 4 12 \ L1 L2
2.Woche | 10 6 5 | R1 / 8 4 \
K = M*P = 3.Woche | 7 8 5 |* R2 | 10 6 | =
4.Woche \ 11 7 9 / R3 \ 8 8 /
L1 L2
/ (8*8 + 4*10 + 12*7) (8*4 + 4*6 + 12*8) \ 1.Woche / 188 152 \
| (10*8 + 6*10 + 5*7) (10*4 + 6*6 + 5*8) | 2.Woche | 175 116 |
= | (7*8 + 8*10 + 5*7) (7*4 + 8*6 + 5*8) | = 3.Woche | 171 116 | => L2 billiger !
\ (11*8 + 7*10 + 9*7) (11*4 + 7*6 + 9*8) / 4.Woche \ 221 158 /
==========================================
[58]
| 0 7 3 10 |
| -4 8 6 -1 | | -4 6 -1 | | -4 8 -1 | | -4 8 6 |
| 3 5 -2 3 | = 0 - 7 * | 3 -2 3 | + 3 * | 3 5 3 | - 10 * | 3 5 -2 | =
| 5 4 1 -3 | | 5 1 -3 | | 5 4 -3 | | 5 4 1 |
[Anm.: die 3x3 Matrizen könnte (sollte ?) man nochmal entwickeln:
| -2 3 |
- 7 * ( -4 * | 1 -3 | ) + 3 * usw..
...aber ich bin jetzt zu faul, das abzutippen :)
Mit der Regel von Sarrus gehts sowieso einfacher:
D = a11*a22*a33 + a21*a32*a13 + a31*a12*a23 - a13*a22*a31 - a23*a32*a11 - a33*a12*a21
]
= -7 * (119) + 3 * (313) - 10 * (-234) = 2446 (überprüft mit Derive, stimmt)
==========================================
[59] (geht vielleicht auch einfacher, aber das war die erste,
logischste Lösung die mir in den Sinn kam)
/ -2 4 0 \
A = | 5 -1 7 |
\ 2 0 3 /
/ 1 0 0 \
inverses Element (B) bedeutet: A*B = E = | 0 1 0 |
\ 0 0 1 /
Damit kann man wundervoll drei Gleichungssysteme aufstellen:
/ -2 4 0 \ / a d g \ / 1 0 0 \
| 5 -1 7 | * | b e h | = | 0 1 0 |
\ 2 0 3 / \ c f i / \ 0 0 1 /
/ -2a+4b -2d+4e -2g+4h \ / 1 0 0 \
=> | 5a-b+7c 5d-e+7f 5g-h+7i | = | 0 1 0 |
\ 2a+3c 2d+3f 2g+3i / \ 0 0 1 /
Gleichungssystem 1 für a, b, c
-2a+4b = 1
5a-b+7c = 0
2a+3c = 0
Gleichungssystem 2 für d, e, f
-2d+4e = 0
5d-e+7f = 1
2d+3f = 0
Gleichungssystem 3 für g, h, i
-2g+4h = 0
5g-h+7i = 0
2g+3i = 1
Die Lösung der Gleichungssysteme sollte eigentlich trivial ;) sein,
kann man mitunter sogar mit Matrizen lösen, wenn man Lust hat,
ich habs lieber "altmodisch" gelöst:
a=-3/2 d=-6 g=14 / -3/2 -6 14 \
b=-1/2 e=-3 h=7 => B = | -1/2 -3 7 |
c=1 f=4 i=-9 \ 1 4 -9 /
Jetzt noch A*B und B*A berechnen, wenn man allerdings "normal" die Gleichungssysteme
gelöst hat, ohne einen Fehler zu machen, is sowieso klar, daß das Gleiche und Richtige
(eben die Einheitsmatrix) rauskommt...
==========================================
[60]
Das Gleichungssystem löst man wieder mit Determinanten (jeweils 4x4)
Die Hauptdeterminante D besteht aus den Koeffizienten für die
Variablen x_1 bis x_4:
| 1 2 -1 1 |
| 2 -1 -1 3 |
D = | -1 4 3 -3 | = ... (Rechenweg erspar ich mir, siehe [58]) ... = 8
| 2 4 0 1 |
(wäre D = 0, gäbe es für das Gleichungssystem KEINE Lösung.)
Analog baut man jetzt für jede Variable jeweils eine weitere
Determinante auf, wobei jeweils die Koeffizienten der Variable,
die man bearbeitet, durch die Zahlen nach dem Gleichheitszeichen
(heißen die absolute Glieder ? ;) Ich nenns halt so...) ersetzt
werden:
| 2 2 -1 1 |
| 0 -1 -1 3 |
D_x_1 = | 2 4 3 -3 | = -48
| 1 4 0 1 |
^-absolute Glieder
| 1 2 -1 1 |
| 2 0 -1 3 |
D_x_2 = | -1 2 3 -3 | = 16
| 2 1 0 1 |
^-a.G.
| 1 2 2 1 |
| 2 -1 0 3 |
D_x_3 = | -1 4 2 -3 | = 8
| 2 4 1 1 |
^-a.G.
| 1 2 -1 2 |
| 2 -1 -1 0 |
D_x_4 = | -1 4 3 2 | = 40
| 2 4 0 1 |
^-a.G.
Die Werte für die Variablen selber berechnet man einfach, indem
man die jeweilige Determinante D_x_1 bis D_x_4 durch die
Hauptdeterminante teilt, und man bekommt folgende Werte:
x_1 = -6, x_2 = 2, x_3 = 1, x_4 = 5
(gesamtes Beispiel mit Derive überprüft)
...soda, 24 Stunden schlaflos reichen, gute Nacht :)
[56]
Vektoren: x=(3,-1,2), y=(2,-3,-1), z=(1,2,2)
a) (sqrt=Wurzel)
||x||=sqrt(3²+1²+2²)=sqrt(14)
||y||=sqrt(2²+3²+1²)=sqrt(14)
||z||=sqrt(1²+2²+2²)=sqrt(9)=3
b)
Winkel(x,y) = cos phi = (x*y) / ( ||x||*||y|| ) = (6+3-2) / (sqrt(14)*sqrt(14)) =
= 7 / 14 = 1 / 2 => phi = 60°
c) (X = Kreuzprodukt)
V=(x X y)*z
x X y = (1+6,-(-3-4),-9+2) = (7,7,-7)
(x X y)*z = 7 + 2*7 - 2*7 = 7
==========================================
[57] (analog zur Vorlesung, nur mit größeren Matrizen)
R1 R2 R3
1.Woche / 8 4 12 \ L1 L2
2.Woche | 10 6 5 | R1 / 8 4 \
K = M*P = 3.Woche | 7 8 5 |* R2 | 10 6 | =
4.Woche \ 11 7 9 / R3 \ 8 8 /
L1 L2
/ (8*8 + 4*10 + 12*7) (8*4 + 4*6 + 12*8) \ 1.Woche / 188 152 \
| (10*8 + 6*10 + 5*7) (10*4 + 6*6 + 5*8) | 2.Woche | 175 116 |
= | (7*8 + 8*10 + 5*7) (7*4 + 8*6 + 5*8) | = 3.Woche | 171 116 | => L2 billiger !
\ (11*8 + 7*10 + 9*7) (11*4 + 7*6 + 9*8) / 4.Woche \ 221 158 /
==========================================
[58]
| 0 7 3 10 |
| -4 8 6 -1 | | -4 6 -1 | | -4 8 -1 | | -4 8 6 |
| 3 5 -2 3 | = 0 - 7 * | 3 -2 3 | + 3 * | 3 5 3 | - 10 * | 3 5 -2 | =
| 5 4 1 -3 | | 5 1 -3 | | 5 4 -3 | | 5 4 1 |
[Anm.: die 3x3 Matrizen könnte (sollte ?) man nochmal entwickeln:
| -2 3 |
- 7 * ( -4 * | 1 -3 | ) + 3 * usw..
...aber ich bin jetzt zu faul, das abzutippen :)
Mit der Regel von Sarrus gehts sowieso einfacher:
D = a11*a22*a33 + a21*a32*a13 + a31*a12*a23 - a13*a22*a31 - a23*a32*a11 - a33*a12*a21
]
= -7 * (119) + 3 * (313) - 10 * (-234) = 2446 (überprüft mit Derive, stimmt)
==========================================
[59] (geht vielleicht auch einfacher, aber das war die erste,
logischste Lösung die mir in den Sinn kam)
/ -2 4 0 \
A = | 5 -1 7 |
\ 2 0 3 /
/ 1 0 0 \
inverses Element (B) bedeutet: A*B = E = | 0 1 0 |
\ 0 0 1 /
Damit kann man wundervoll drei Gleichungssysteme aufstellen:
/ -2 4 0 \ / a d g \ / 1 0 0 \
| 5 -1 7 | * | b e h | = | 0 1 0 |
\ 2 0 3 / \ c f i / \ 0 0 1 /
/ -2a+4b -2d+4e -2g+4h \ / 1 0 0 \
=> | 5a-b+7c 5d-e+7f 5g-h+7i | = | 0 1 0 |
\ 2a+3c 2d+3f 2g+3i / \ 0 0 1 /
Gleichungssystem 1 für a, b, c
-2a+4b = 1
5a-b+7c = 0
2a+3c = 0
Gleichungssystem 2 für d, e, f
-2d+4e = 0
5d-e+7f = 1
2d+3f = 0
Gleichungssystem 3 für g, h, i
-2g+4h = 0
5g-h+7i = 0
2g+3i = 1
Die Lösung der Gleichungssysteme sollte eigentlich trivial ;) sein,
kann man mitunter sogar mit Matrizen lösen, wenn man Lust hat,
ich habs lieber "altmodisch" gelöst:
a=-3/2 d=-6 g=14 / -3/2 -6 14 \
b=-1/2 e=-3 h=7 => B = | -1/2 -3 7 |
c=1 f=4 i=-9 \ 1 4 -9 /
Jetzt noch A*B und B*A berechnen, wenn man allerdings "normal" die Gleichungssysteme
gelöst hat, ohne einen Fehler zu machen, is sowieso klar, daß das Gleiche und Richtige
(eben die Einheitsmatrix) rauskommt...
==========================================
[60]
Das Gleichungssystem löst man wieder mit Determinanten (jeweils 4x4)
Die Hauptdeterminante D besteht aus den Koeffizienten für die
Variablen x_1 bis x_4:
| 1 2 -1 1 |
| 2 -1 -1 3 |
D = | -1 4 3 -3 | = ... (Rechenweg erspar ich mir, siehe [58]) ... = 8
| 2 4 0 1 |
(wäre D = 0, gäbe es für das Gleichungssystem KEINE Lösung.)
Analog baut man jetzt für jede Variable jeweils eine weitere
Determinante auf, wobei jeweils die Koeffizienten der Variable,
die man bearbeitet, durch die Zahlen nach dem Gleichheitszeichen
(heißen die absolute Glieder ? ;) Ich nenns halt so...) ersetzt
werden:
| 2 2 -1 1 |
| 0 -1 -1 3 |
D_x_1 = | 2 4 3 -3 | = -48
| 1 4 0 1 |
^-absolute Glieder
| 1 2 -1 1 |
| 2 0 -1 3 |
D_x_2 = | -1 2 3 -3 | = 16
| 2 1 0 1 |
^-a.G.
| 1 2 2 1 |
| 2 -1 0 3 |
D_x_3 = | -1 4 2 -3 | = 8
| 2 4 1 1 |
^-a.G.
| 1 2 -1 2 |
| 2 -1 -1 0 |
D_x_4 = | -1 4 3 2 | = 40
| 2 4 0 1 |
^-a.G.
Die Werte für die Variablen selber berechnet man einfach, indem
man die jeweilige Determinante D_x_1 bis D_x_4 durch die
Hauptdeterminante teilt, und man bekommt folgende Werte:
x_1 = -6, x_2 = 2, x_3 = 1, x_4 = 5
(gesamtes Beispiel mit Derive überprüft)
...soda, 24 Stunden schlaflos reichen, gute Nacht :)