Beispiel 61

[dj_m.o.h.t.]

Angabe:

Man löse die Differentialgleichungen!

y'' + y = 1/cosx (mittels Variation der Konstanten)

Lösung:

yh: L...Lamda

L^2 + 1 = 0 => L^2 = -1 => L1,2 = +-i

=> yh = c1 * cosx - c2 * sinx

Warum diese Lösung:

Siehe folgendes: e^Alpha+i*Beta = e^Alpha * (cosBeta - i * sinBeta)
Darum!

Variation der Konstanten:

Statt c1 und c2 => z1 und z2

y = z1 * cosx - z2 * sinx
y' = z1' * cosx - z1 * sinx - z2' * sinx - z2 * cosx
Bedingung: z1' * cosx - z2' * sinx = 0
y'' = -z1' * sinx - z1 * cosx - z2' * cosx + z2 * sinx

Einsetzen:

-z1' * sinx - z1 * cosx - z2' * cosx + z2 * sinx + z1 * cosx - z2 * sinx = 1/cosx
-z1' * sinx - z2' * cosx = 1/cosx

z1' * cosx - z2' * sinx = 0 => z1' = z2' * sinx/cosx

-z2' * sin^2x/cosx - z2' * cosx = 1/cosx
-z2' * (sin^2x + cos^2x) =1

sin^2x + cos^2x = 1

=> z2' = -1 => z2 = -x

z1' = - sinx/cosx => z1' = -tanx => z1 = -ln|cosx|

y= yh + yp => y = c1 * cosx - c2 * sinx - ln|cosx| * cosx + x * sinx

[PliniusSecundus]

Gilt nicht folgendes:
Nullstellen:
+i => cosx
und für die konjugierte
-i => sinx