Beispiel 53

[dj_m.o.h.t.]

Angabe:

Man löse die homogenen Differentialgleichungen!

(x^2 + y^2)dx + xydy = 0 (für x=1 sei y=-1)

Lösung:

y/x = z => y = zx

x^2 + z^2 * x^2 dx + x^2 * z * (zdx + xdz) = 0
x^2 * (1+z^2)dx + x^2 * z^2 dx + x^3 * z dz = 0
x^2 * (1+2z^2)dx = -x^3 * z dz

Int...Integral

Int 1/x dx = Int -z/1+2z^2 dz

ln|x| = -1/4 * ln|1+2z^2| + c
ln|x| = -1/4 * ln|1+2 * y^2/x^2| + c

Jetzt noch c ausrechnen:

ln|1| = -1/4 * ln|1+1| + c
0 = -1/4 * ln|2| + c
c = 1/4 * ln|2|

[west]

bis zum ausrechnen von c komm ich mit, dann hab ich aber was anderes:

für x=1 --> y=-1

ln(1)+1/4*ln(1+2*1/1)=c
ln(1)=0

1/4*ln(1+2)=c
c=1/4*ln(3)

c=0.27...

[PliniusSecundus]

2*1=1
Beim Lösen von Differentialgleichungen braucht man keine trivialen Volksschulkenntnisse.

[Heavy]

Original geschrieben von PliniusSecundus
2*1=1
Beim Lösen von Differentialgleichungen braucht man keine trivialen Volksschulkenntnisse.


:D :D :D

[-z0nk-]

könnt irgendwer mal kurz erklären, wie ihr die rechte seite integriert habt .. ?

mfg, -z0nki-

*edit* habs schon, sry :)

[-z0nk-]

aber noch was anderes: ... sollte man da nicht entlogarithmieren und die lösung y = .... angeben ?

[Filz]

bringt auch nicht so viel:

y=(+/-)sqrt( (e^4c)/(2x^2) - x^2/2 )