Beispiel 51

[dj_m.o.h.t.]

Angabe:

Man löse die homogenen Differentialgleichungen!

(2x + 3y)dx + (y - x)dy = 0

Lösung:

Substitution: y/x = z => y = zx

dy = xdz + zdx

(2x + 3zx)dx + (zx - x)*(xdz + zdx)dy = 0
x*(2 + 3z)dx + zx^2 - x^2dz + z^2x - zxdy = 0
x*(2 + 3z) + x*(z^2 - z)dx + x^2 * (z-1)dz = 0
x*(2 + 2z + z^2)dx = -x^2 * (z-1)dz
-1/x dx = z-1 / 2+2z+z^2 dz

-ln|x| = 1/2 * ln|2+2z+z^2| - 2arctan(z+1) + c
-ln|x| = 1/2 * ln|2 + y/x + y^2/x^2| - 2arctan(y/x + 1) + c

[Jeff_Mills]

ad: ... +(y-x)dy

dann einsetzen der hilfsvariable:
ergibt:

....+ (zx-x)(dzx+z)
du jedoch hast ...+ (zx-x)(dzx+z)dy
das dy hast du doch ersetzt

[Heavy]

Ich blick nicht ganz durch wieso kommt beim Ausmultiplizieren von (zx - x)*(xdz + zdx)dy bei einigen Teil-Produkte das dz bzw. dy vor, bei den anderen wiederum nicht? :confused:

[Zentor]

Das sind alles Abschreibfehler. Ich hab den
Integral (z-1) dz / (z^2+2z+2)
Über Sustituieren gelösst (weil ja Ableitung/Funktion):
t = z^2+2z+2
Integral( (z-1)dt/(2t*(z+1))= Integral(dt/2t)= 1/2 ln(t) +c =
= 1/2 ln(z^2+2z+2) + c

Wo kommt der arctan her? Hab ich da was übersehen?
mfg Zentor

[shabby]

edit: Integral: Kaiser Analysis 1, Integrieren rat.Funktionen, Typ 3 (auf ganzes Quadrat ergänzen,substitution)


@zentor: falsch

[Joachim]

@zentor:
woher kommt das (z+1), und warum 2t???

[Filz]

@ Zentor: Du hast übersehen, dass du (z-1) nicht mit (z+1) kürzen kannst.

[Zentor]

Oh:eek: :D , tja nagut

So gehts jetzt aber:

Integral (z-1)/((z+1)^2+1) dz =
Integral z/((z+1)^2+1) dz - arctan(z+1)+c
t = z+1 z = t-1
= Integral (t-1 dt)/ (t^2 + 1)- arctan(z+1)+c=
=Integral t dt/ (t^2 + 1)- arctan(t)- arctan(z+1)+c=
=1/2*ln(t^2 + 1)- arctan(t)- arctan(z+1)+c=
=1/2*ln((z+1)^2 + 1)- arctan(z+1)- arctan(z+1)+c=
=1/2*ln(z^2+2z+2)- 2arctan(z+1)+c


mfg Zentor