Beispiel 45

[dj_m.o.h.t.]

Angabe:

Man löse die exakten Differentialgleichungen!

(Achtung: Tippfehler beim Zettel! Gleich am Anfang steht ein dy und dann wieder dy => erstes dy => dx!!!)

(x+y+1)dx-(y-x+3)dy=0

Lösung:

x+y+1=P
y-x+3=Q

dP/dx=1
dQ/dy=1

Int...Integral

Int Pdx + Int Q - Int dP/dy dxdy=0

Int x+y+1 dx - Int y-x+3 + Int 1 dxdy=c
x^2/2 + yx + x - y^2/2 + xy - 3y - xy=c

x^2/2 - y^2/2 + xy + x - 3y=c

[Zentor]

Könntest du erklären wie man auf

Int Pdx + Int Q - Int dP/dy dxdy=0

kommt?
Im Skriptum wird
dP/dy=dQ/dx verlangt,
wie kann man argumentieren das das Minus das ganze "umdreht" ? (
dP/dx=1
dQ/dy=1
)

mfg Zentor

[Faceless]

Hi,

Ich hab das Beispiel so wie im Skriptum gerechnet und glaube es ist so um einiges verständlicher:

P(x,y) = (x+y+1)
Q(x,y) = -(y-x+3) = -y+x-3

dP/dy (x,y) = 1
dQ/dx (x,y) = 1

da die beiden gleich => exakt!

und jetzt nach dem Kochrezept im Skriptum:

dH/dx(x,y) = x+y+1

H(x,y) = x^2/2 + yx + x + C(y)

dH/dy(x,y) = x + C'(y) = Q(x,y) = -y+x-3

x+C'(y) = -y+x-3
C'(y) = -y-3
C(y) = -y^2/2-3y

C(y) in H(x,y) einsetzen:

H(x,y) = x^2/2 + yx + x - y^2/2 - 3y = C

(Garantie für die Richtigkeit des Rechengangs: Keine ;) )

(P.S.: Danke Zentor für das Melden der Tipp-Fehler. Schon ausgebessert)

[Zentor]

Danke, so hab ichs auch und halbwegs verstanden.
mfg Zentor
ps.
was ist das f?
df/dx(x,y) = x+y+1
ich hab da
dH/dx(x,y) = x+y+1
und bei C'(y) = -y-3 (Tippfehler)

[Cha]

Exakte Differentialgleichungen haben wir in der Vo ja gar nicht durchgemacht, oder???