Blatt 10

[Altoids]

So. Hier meine Lösungen zu Blatt 10. Ich hoff das mit dem File Attatchment funktioniert.
46, 47 und 48 sollten richtig sein.
Bei 49 bin ich mir da nicht so ganz sicher.

und bei 50?
kann mir jemand sagen, was genau hier verlangt ist?

P.S.: Alle Angaben ohne Gewähr!!

[dose]

Bei 50 is meiner Meinung nach ne ganz "normale" Kurvendiskussion gefragt mit allem was in der Vorlesung behandelt wurde:
- Nullstellen
- Monotonie
- relative Extrema
- Wendepunkte
- Krümmung

[Altoids]

Hab ich mir fast gedacht..... war mir nur nicht sicher.

Auf jeden Fall Danke :)

[dose]

So, endlich fertig mim Datenmodellieren *freu*, also post ich mal das, was ich beim 50er hab (kein LaTeX, soz):

f(x) = sin x - sqrt(3)*cos x
f'(x) = cos x + sqrt(3)*sin x
f''(x) = - sin x + sqrt(3)*cos x
f'''(x) = - cos x - sqrt(3)*sin x

Nullstellen:
sin x - sqrt(3)*cos x = 0
(sin x)/(cos x) = tan x = sqrt(3)
x = 60° = pi/3, zweite Nullstelle bei -120° = -2*pi/3

Analog berechnet man die relativen Extrema und die Wendepunkte.
T bei -30° = -pi/6
H bei 150° = 5*pi/6
Wendepunkte fallen mit den Nullstellen zusammen. (klar, f(x)=0 und f''(x)=0 unterscheiden sich nur durch die Vorzeichen)

monoton fallend in den Intervallen (-pi , -pi/6) und (5*pi/6 , pi)
monoton steigend im Intervall (-pi/6 , 5*pi/6)

konvex im Intervall (-2*pi/3 , pi/3)
konkav in den Intervallen (-pi , -2*pi/3) und (pi/3 , pi)

Bei den restlichen Beispielen bin ich mir (bis auf 48) noch nicht wirklich im klaren, dem werd ich mich später widmen...

Hope that helps, Tippfehler könnt ihr behalten :P

[7112012]

Zu Altoids: Respekt, Respekt...find ich echt spitze, dass du dir die Mühe machst. Nur ich glaub bei Bsp. 47 ist der Fehler bei der quadratischen Approximation -0,053061543.

Aber trotzdem: RESPEKT!

[Troy]

genauso wie dose, hab ich auch die lösung von 50 ---->


f(x) = sin(x) - sqrt(3) * cos(x) [-pi, pi] bzw. [-180, 180]

Nullstellen:
============

sin(x) - sqrt(3) * cos(x) = 0

sin(x) = sqrt(3) * cos(x)

sin(x) / cos(x) = sqrt(3)

tan(x) = sqrt(3)

==> x1 = pi/3 bzw. 60
x2 = -2pi/3 bzw. -120


Extremstellen:
==============

f'(x) = cos(x) + sqrt(3) * sin(x)

f'(x) = 0

cos(x) + sqrt(3) * sin(x) = 0

-cos(x) = sqrt(3) * sin(x)

-1 = sqrt(3) * [sin(x) / cos(x)]

-1 / sqrt(3) = tan(x)

==> x1 = -pi / 6 bzw. -30
x2 = (5 * pi) / 6 bzw. 150

Überprüfen durch 2. Ableitung ob Max. oder Min.:

f''(x) siehe Wendepunkte

f''(-pi/6) = -sin(-pi/6) + sqrt(3) * cos(-pi/6)

f''(-pi/6) > 0 ==> Minimum


f''(5pi/6) < 0 ==> Maximum


Wendepunkte:
============

f''(x) = -sin(x) + sqrt(3) * cos(x)

f''(x) = 0

-sin(x) + sqrt(3) * cos(x) = 0

sqrt(3) * cos(x) = sin(x)

weiters siehe Nullstellen


Überprüfung durch 3. Ableitung: f'''(x) muss ungleich Null sein.

f'''(x) = -cos(x) - sqrt(3) * sin(x)

f'''(pi/3) = -cos(pi/3) - sqrt(3) * sin(pi/3)

f'''(pi/3) != 0 ==> ((pi/3)/0) ist Wendepunkt

f'''(-2pi/3) != 0 ==> ((-2pi/3)/0) ist Wendepunkt

[Troy]

also nach meinung eines freundes soll die Lösung von Altoids bzgl. 49 RICHTIG sein.
Glückwunsch *g* :D

[laborg]

komm grad vom hoffestl und mim bier im schädl fällt ma des denken schwer aber glaub das 48a falsch is...oder zumindest zuviel des guten...

nämlich hörts schon beim zweiten schritt auf (0/1 ist KEINE unbestimmte form) lösung is 0.

kritik erwünscht...


und bei 48b is zwar richtig aber ich glaub man muss trotzdem 3mal den limes bilden... weis aber ned genau was e^2x differenziert is.

wollt ma des zwar ned antun ... eh scho wissen ..alk und so...aber beim 49... kann ma ned einfach sagen das f'<0 sein soll? da kommt sowas raus wie t > 1/3 ... kann mich aber auch bei der rechnung irren... mir gehts nur um des f' < 0..

gute nacht.. ich geh schlafen..bis morgen...

laborg

[Megabit]

danke euch allen für die Lösungen!!!

[dose]

Noch ne Anmerkung für die Nachwelt: Bei Beispiel 48c isses IMHO einfacher, den Tangens gleich durch sin/cos zu ersetzen (man quält sich dann nicht mit der doppelten inneren Ableitung vom Tangens herum, das hab ich relativ lang nicht überrissen :)):
lim_x->1 (sin(pi*x/2) - x*sin(pi*x/2)) / cos(pi*x/2) = "0/0"
Ableiten:
lim_x->1 (pi/2*cos(pi*x/2) - sin(pi*x/2) - pi*x/2 - sin(pi*x/2)) / -pi/2*sin(pi*x/2) =
= lim_x->1 (pi/2*(1-x)*(cos(pi*x/2) - sin(pi*x/2)) / -pi/2*sin(pi*x/2)

(1-x) geht gegen 0, sin(pi*x/2) jeweils gegen 1, also
= 0-1 / (-pi/2*1) = -1 / (-pi/2) = 2/pi


Beispiel 49 is meine Lösung so (bin ich erst während der Übungsstunde draufgekommen, natürlich nicht angekreuzt *grml*):
f(x) = (x²+t) / (x-t) ...dabei sollte t != 0 sein, sonst is f(x)=x und f'(x)=1
f'(x) = (x²-2xt+t) / (x-t)²

monoton fallend heißt: f'(x)<0
Da ich für x_0=1 wähle, setz ich einfach in die erste Ableitung ein und bekomm ne Ungleichung:

f'(1) = (1-2t+t) / (1-t)² = (1-t) / (1-t)² = 1 / (1-t)
1 / (1-t) < 0
=> Man muß für t > 1 wählen, damit die Funktion in der Umgebung von x_0=1 streng monoton fallend ist (man muß nur die Umgebung klein genug wählen bzw. laut Übungsstunde gilt es sowieso, da das ein Taylorpolynom ist...)

Soweit, so gut, nur in der Übungsstunde ist man irgendwie auf 1/3 gekommen (anders aufgelöst), kann mir jemand erklären, wieso bzw. was ich falsch mach ?

[Guinness]

Hat zufällig noch wer das Attachment zu blatt10? Leider kann man's nicht mehr downloaden!

Danke!

Ciao, Guinness!