Beispiel 39

[dj_m.o.h.t.]

Angabe:

Man löse die Differentialgleichung y'=x/x-y mit der Isoklinenmethode.

Lösung:

y'=x/x-y
y'=c
x/x-y=c
x=cx-cy
cy=cx-x
y=x*(c-1)/c

Jetzt setzt ihr für c beliebige Werte ein und zeichnet dann die Funktion.

Hier sind mal ein paar Werte. Vielleicht kann jemand von euch ne Zeichnung anfertigen und als Anhang hineinposten.

y'=c=1 => y=0
y'=c=2 => y=x/2
y'=c=-2 => y=3x/2
y'=c=1/2 => y=-x

[shabby]

zwei fragen:

erstens:

die ganze Zeichnerei ist ja ganz schön, aber wie extrapolier ich da jetzt die gesuchte Funktion (im Skriptum die fette Linie) heraus ???

ich habs im positiven Bereich versucht ;) (orange Linie, nach Intuition (y=f(c) ))

edit: bitte um Hilfe:
also nach einem Skript extrapoliert man die Lösungen so aus dem Linienfeld:


In diesem Beispiel stellt also jede zur x-Achse parallele Linie y = c eine Isokline dar. Aus den
unendlich vielen Kurven, die y´ = f(x,y) grafisch erfüllen, stellt diejenige die gesuchte Lösung
dar, welche die Randbedingung y(x0) = y0 erfüllt.


Randbedingung ??
y(x0) = y0
Muß ich um eine konkrete Lösung zu bekommen, x0,y0 wählen?
Wenn ja, darf ich es beliebig wählen ?
Wie erhalte ich die Kurve?


Vielleicht überwindet ja jemand seine Schreibfaulheit,

shabby

bild1(älter):orange linie ignorieren
http://stud4.tuwien.ac.at/~e0060387/isokline.gif
bild2(neuer):Farben:heller = rechter Intervallbereich:
rot(c(1,30]),blau(c(-1,1)),grün((-1,-30]) c=1,c=0:x,y-Achse
http://stud4.tuwien.ac.at/~e0060387/39.jpg

[Heavy]

@robby

c sollte >=0 sein oder?

[meli]

das würd mich auch interessieren :p

warum soll c>= 0 sein ???

[Heavy]

Original geschrieben von meli
das würd mich auch interessieren :p

warum soll c>= 0 sein ???

So steht's im Skriptum...
Ups c ist element von R, Sorry!!!!!

[shabby]

Original geschrieben von Heavy


So steht's im Skriptum...
Ups c ist element von R, Sorry!!!!!
a) im skriptum steht auch x^2+y+^2=c ;)
b) naja, versuch einmal bei dieser Gleichung eine reelle Lösung für c<0 zu finden

I) bei x/x-y gibts keine Lösung für im Nullpunkt aber:
x-Achse\(0,0) für c=1
y-Achse\(0,0) für c=0;
II)imho ist das Richtungsfeld ganz R^2 ohne (0,0), als Asymptote die Diagonale (k=1, nicht erreichbar wegen y=x-x/c ^ y= x => c=infinity)

III)imho geht man (wie es im Skriptum angedeutet wird) um eine konkrete Lösung zu bekommen von den Isoklinen zu dem Polygonzugverfahrenüber. d.h. ich suche die(eine) Kurve durch den Startpunkt (x0,y0) benutze die der Kurve zugeordnete Steigung c um (x1=x0+delta(x),y1=y0+c*delta(x)) zu berechnen, schau dort auf welcher Isokline ich mich befinde, usw.
is das so ungefähr richtig ?

edit:
unten zwei Lösungen für das Beispiel für die gilt: y(-x0)=0
ich weiß, es ist schon zu spät dazu: was passiert an den diagonalen ??

http://stud4.tuwien.ac.at/~e0060387/39a.jpg

mfg

[VTEC]

Hab übersehen, daß Ihr das Beispiel auch habt. Wie findet Ihr meine Gedanken zu dem Beispiel, könnte die Grafik stimmen (http://rs6k.feig.at/informatik-forum/showthread.php?s=&threadid=1841)?

Ich glaub auch, daß die Funktion nicht stetig ist, sondern von links sich asymptotisch der Y-Achse positiv nähert und vom negativen wieder raufkommt für positive x (zumindest so ähnlich). Das Mathematica spuckt ja auch irgendwas mit ARCTAN als Lösung für y aus und es sieht ganz danach aus. Naja - morgen werden wir es wissen.

Marcus

[Phil]

bei mir kommen da (auch) spiralen raus.

[lj_scampo]

laut mir sollte es auch eine spiralenkurve sin. bei x=y ist die steigung unendlich (parallel zur y-achse)

[moose]

Urbanek: ich hab gestern lang überlegt, ob ich des beispiel irgendwie gscheit veranschaulichen soll oder doch lieber final fantasy auf da playstation weiterspielen