Hu Po 28.10. Bsp2

[Laessig]

Ich häng da beiner Kombinatorik Sache, vielleicht kann mir wer ja weiterhelfen.
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Angabe:
Sie werfen einen fairen Würfel 20 Mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Augensumme von höchstens 22 oder mindestens 118 zu erhalten?
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Mein Ansatz für P(Augensumme <=22) ist folgender:
Mit 20 Würfeln kann eine Augensumme von max. 22 auf folgende Arten entstehen:
1) 19 1er und 1 3er
2) 19 1er und 1 2er
3) 20 1er
4) 18 1er und 2 2er

Die Wahrscheinlichkeit für 20 Würfel eine dieser Kombinationen zu ergeben ist immer (1/6)^20
Die Frage ist nur wieviele Kombinationen gibt es...
ad 1) 20 Möglichkeiten
ad 2) 20 Mögichkeiten
ad 3) 1 Möglichkeit
ad 4) keine Ahnung - da bräuchte ich Hilfe

Die Lösung für P(Augensumme <= 22) wäre dann für mich (1/6)^20 mal der Summe der Möglichkeiten

[werner21]

Klingt ja schon recht vernünftig. denk mal dass die Lösung
2*(20 1) *p^20 + (20 2) * p^20 + p^20
ist. (der obere bereich ist natürlich genauso wahrscheinlich also das ganze nochmal mit 2 multiplizieren.

zur Erklärung: es gibt 20 über 1 mögliche Wege 19mal einen 1er und 1 mal einen 2er bzw im anderen Fall einmal einen 3er zu Würfeln.
lg

[klwe]

Unter der Voraussetzung Anzahl der gew. Fälle / Anzahl der möglichen Fälle wäre mein Ansatz:

Alle 1er => 1 Möglichkeiten
Ein 2er => 20
Ein 3er => 20
Zwei 2er => 20 * 19

gilt auch für >= 118

daher 2 * (41+ 20*19) / 6^20

[Laessig]

danke für die hilfe, ich glaub allerdings ihr beide habt da unterschiedliche meinungen:

werner nimmt den "2 2er"-Fall mit (20 2) an, klwe mit (20*19)

(20 2) ist bei mir 190, 20*19 = 380

ich tendiere eher zu werner da bei 20*19 Kombinationen doppelt gezählt werden (glaub ich zumindest)

[rollipolli]

yeb; (20 2); also (20!/(18!*2!).

hab ich auch so bei der Permuation nachgelesen.

[werner21]

wollt auch grade schreiben dass ich nicht ganz glaube das man das mit 20*19 berechnen darf. Allerdings gefällt mir klwe's ansatz ansonsten auch ganz gut, und ich kann eigentlich nicht begründen warum das nicht so funktionieren sollte. Trotzdem bin ich mir sicher das mein Ansatz richtig ist (es gibt ähnliche Bsp in Büchern die nach dem Prinzip funktionieren)
Schön langsam geht mir die Kombinatorik aber gewaltig auf die Nerven, es gibt einfach zu viele Möglichkeiten... Beim Test die Richtige zu finden ist für mich teilweise Glücksache....

edit: Hoppla bin grade draufgekommen, dass bei unseren Ansätzen nach der modifikation mit (20 2) eh das gleiche rauskommt. Na vielleicht gibts bei der Prüfung doch noch chancen..

[zenzi]

Das Ganze nennt sich dann übrigens Multinomialverteilung...

[klwe]

Ok - also im Prinzip ist die Lösung eh gleich. Nur dass ich bei 19*20 davon ausgehe, dass es auf die Reihenfolge ankommt. Denn bei (1/6)^20 macht man das ja auch. Dh. ein 1er an der ersten Stelle ist etwas anderes als an der zweiten Stelle.

Ausserdem ist mMn gefragt, wie die Wahrscheinlichkeit ist, eine Summe <= 22 oder >= 118 zu erhalten ==> dh. es müsste dann jedenfalls

2* ( 2*(20 1) + (20 2) + 1 ) * (1/6)^20 heissen...

Anmerkung: Habs nur ein bisserl umgeformt, um zu zeigen, dass wir eh schon sehr knapp beinander sind...

Also wenn mir das mit den (20 2) jemand noch erklären könnte, so dass ichs auch glauben kann, wäre das toll.

Wie siehts mit den anderen Beispielen aus - die sind doch auch so ähnlich - oder?

[rollipolli]

Also wenn mir das mit den (20 2) jemand noch erklären könnte, so dass ichs auch glauben kann, wäre das toll.


ok, was hab ich da für ein tolles Beispiel dazu :)

Prinzipiell geht es darum, daß du 20! Möglichkeiten hättest deine Elemente anzuordnen; du kannst jedoch die 18 Köpfe bzw 2 Adler innerhalb der Gruppe nicht unterscheiden

(Adler1)(Adler2)KKKKKKKK
ist hier das selbe wie
(Adler2)(Adler1)KKKKKKKK

-> somit hast du in Wahrheit nur 20!/(18!*2!) = (20 2)

Beispiel: Anzahl der Permutationen der Buchstaben des Wortes "statistics" sind:

10! / (3!3!1!2!1!) weil 3mal s, 3mal t, einmal a, zweimal i, und einmal c vorkommt.

[klwe]

Danke, aber ganz überzeugt hast mich noch nicht...

Denn wenn ich nicht unterscheide habe ich ja eigentlich eine geringere Wahrscheinlichkeit, auf die gew. Ziffernsumme zu kommen als wenn ich doch unterscheide. Schliesslich unterscheide ich bei den Möglichkeiten doch auch.
6^20 Möglichkeiten heisst doch, dass es auf die Reihenfolge ankommt (dass also Vogl1 Vogl2 != Vogl2 Vogl1 ist). Wenn ich dann aber beim Durchzählen der Möglichkeiten den Unterschied nicht berücksichtige, unterschlage ich doch einige Möglichkeiten? Oder bin ich schon so verwirrt...