HU Offene Fragen

[Seppi]

Hallo!

Mir sind folgende Punkte unklar .. vielleicht kennt jemand die Antwort:

Markovkette:
- Wie untersuche ich mathematisch Formal ob eine Kette irreduizbel ist?
- Wie stellt man fest ob es sich um eine stabile Anfangsverteilung handelt?

Allgemein:
- Was sind Invarianzeigenschaften von Maßzahlen (Lagemaßen, Mittelwerten und Streuungsmaßen)

[klwe]

Grüss' Sie!

Steht doch eh alles in den Unterlagen:

Irreduzibel:
1. siehe Definition auf Seite 5
2. siehe Seite 4 für die Schrittgeschichte

==> Beispiel: wennst einen Zustand_jj mit 1 drin hast, wird es sich kaum um eine irreduzible Kette handeln können.

Stabile Anfangsverteilung
detto Seite 5 und 4.

Invarianzeigenschaften:
==> s(X + a) = s (X)

Alles klar?

lg,
klwe

[Seppi]

Invarianzeigenschaft ist mir nicht klar!
Wo steht das?

[klwe]

einfach gesagt: wenn du >jeden vorhandenen Wert< um einen fixen Wert a erhöhst oder verminderst, ändert sich an der Standardabweichung bzw. an der Varianz nichts (sollt' eigentlich eh intuitiv klar sein)...

[nameless]

Hat irgendjemand eine Ahnung was ein Kerndichteschätzer ist bzw. Mosaik-Plots sind?
Wenn ja: woher und woher kann ich das erfahren?

vielen dank
nameless

[nameless]

Stabile Anfangsverteilung
detto Seite 5 und 4.


Tja, das is ja wirklich leicht, aber: Wie untersuche ich ohne stupidem Herumprobieren, ob es weitere stabile Anfangsverteilungen gibt?

[rollipolli]

Tja, das is ja wirklich leicht, aber: Wie untersuche ich ohne stupidem Herumprobieren, ob es weitere stabile Anfangsverteilungen gibt?

also ich hab es beim Prüfungsordner vom 2. Juni 2003 so gemacht:

Anfangsverteilung * Übergangsmatrix ergibt wieder die Anfangsverteilung
--> somit ist es offenbar eine stabile Anfangsverteilung.

wenn du dir die Matrixmultiplikation anschaust, machen eigentlich nur die 2 Gleichungen "was gscheites":

0.25*X + 0.5Y +0+0+0= 0.4
0.75*X + 0.5Y +0+0+0= 0.6

für unsere Anfangsverteilung war X=0.4 und Y=0.6; wenn man das gleichungssystem nach X, Y auflöst, bekommt man als einzige Lösung wiederum nur X=0.4 und Y=0.6; also würd ich sagen, daß (0.4, 0.6, 0, 0, 0) die einzig stabile Anfangsverteilung ist.

[klwe]

aus Satz (iii) hätt' ich aber abgeleitet, dass es mehrere gibt (ohne irgendwas zu rechnen)

Ausserdem kannst mMn beim Überprüfen nicht auf X und Y einschränken. Das gilt ja nur für die gegebene Anfangsverteilung. Würdest du 1/5, 1/5, 1/5, 1/5 als Anfangsverteilung verwenden, würden wieder alle Gleichungen (bis auf die letzte) Sinn machen (um es in deinen Worten zu formulieren) und theoretisch müsstest das für alle möglichen Kombinationen durchgeführt werden...

[looseleaf]

aus Satz (iii) hätt' ich aber abgeleitet, dass es mehrere gibt (ohne irgendwas zu rechnen) [...] und theoretisch müsstest das für alle möglichen Kombinationen durchgeführt werden...

...oder ein Gleichungssystem mit 5 Gleichungen aufstellen (eigentlich 6, weil ja die Summe von \pi_0 noch 1 sein muss) [...]

Genau. Hier haben wir folgende Gleichungen (vorausgesezt \pi_0=(a;b;c;d;e))

I: a/4 + b/2 = a
II: 3a/4 + b/2 = b
III: c + d/3 = c
IV: 2d/3 = d
V: e = e
VI: a+b+c+d+e = 1

Folgerungen:

Aus IV folgt mal, dass d=0 sein muss
Damit folgt aus 3, dass c frei wählbar ist
Aus V ist e frei wählbar
Aus I oder II ergibt sich für a und b der Zusammenhang 3a = 2b


Insgesamt kann man also für a eine beliebige Zahl wählen, für b das Eineinhalbfache und für c oder e den Rest auf 1.

Natürlich müssen alle Parameter >=0 und <= 1 sein.

Beispiel: \pi_0=(1/3; 1/2; 1/6; 0; 0)

[klwe]

@ looseleaf: genau, und so gesehen bringt die Probiererei mit den verschiedenen Möglichkeiten ja dann nicht unbedingt viel, denn bereits eine freie (eigentlich ja 2) Variable bedeutet dann schon unendlich viele Möglichkeiten zum Probieren...

[looseleaf]

@ looseleaf: genau, und so gesehen bringt die Probiererei mit den verschiedenen Möglichkeiten ja dann nicht unbedingt viel, denn bereits eine freie (eigentlich ja 2) Variable bedeutet dann schon unendlich viele Möglichkeiten zum Probieren...

Mal so als Schnellschuss gedacht: Wenn ein absorbierender Zustand existiert, existieren auch mehrere stabile Ausgangszustände.
Kann man das so sagen? Wüsste jemand was zu entgegnen?

Hat sich jemand überlegt, wie man andere Dinge nachweisen könnte, so zB ob ein Zustand transient ist oder rekurrent oder so ist? Ich hab da gestern kurz drüber gegrübelt und nicht so genau gewusst, wie ich das mit Papier und Bleistift f.e. gegebene Matrix u. Zustand überprüfen sollte.

[mowgly]

die punkte a) und c) sind mir ja klar beim markovketten-beispiel. beim ueberpruefen ob sie irreduzibel ist haenge ich jedoch, da werde ich aus dem skriptum auch nicht wirklich schlau.

kann da vielleicht posten welche schritte anhand dieses beispiels zu machen sind?

[klwe]

irreduzibel heisst, dass du von jedem Zustand in jeden Zustand gelangen kannst. Das kann in einer Matrix sein, wenn alle Zustände > 0 oder aber über mehrere Matritzen hinweg - als Beispiel: Von Zustand 1 auf 2 im ersten Schritt und von Zustand 2 auf 3 im zweiten Schritt. ist genauso gültig. Wennst aber Zustände drinnen hast, die nur von sich zu sich selbst gehen können (dh. Zustand_jj (Diagonalelement) ist alleine 1), kannst diesen schon nicht mehr erreichen und die Kette ist nicht mehr irreduzibel.

So hab' ich das mal verstanden.