Mathebeispiele für Montag, 03.06.2002

[dj_m.o.h.t.]

Hi, Leutz!

Mir ist von Ordovicium aufgetragen worden, dass ich alle Beispiele nur in einem Thread posten soll und habe sozusagen eine Belehrung bekommen => Verlust meiner Beitragsanzahlen! Also werde ich die Beispiel hier in diesem Thread hineinposten. Auch wenn man dann von den Lösungen her ein wenig den Überblick verliert. Ich kann leider auch nichts ändern. Muss es so machen.

[dj_m.o.h.t.]

Angabe:

In welchen Punkten der Kurve x^2+4xy+16y^2=27 sind die Tangenten horizontal, in welchen vertikal?

Lösung:

horizontal heißt Ableitung nach y=0:
fy: 4x+32y=0
x=-8y
-64y^2-32y^2+16y^2=27
48y^2=27
y^2=9/16
y=+-3/4
x=+-6
=> E1(6,-3/4)
E2(-6,3/4)

vertikal heißt Ableitung nach x=0:
fx: 2x+4y=0
x=-2y
4y^2-8y^2+16y^2=27
12y^2=27
y^2=9/4
y=+-3/2
x=+-3
=> E1(3,-3/2)
E2(-3,3/2)

[dj_m.o.h.t.]

Angabe:

Man bestimme die relativen Extrema der Funktion (fx,y)=(x^2+y^2)-2*(x^2-y^2).

Lösung:

fx=2(x^2+y^2)*2x-4x
fy=2(x^2+y^2)*2y+4y
fxx=12x^2+4y^2-4
fxy=8xy
fyy=12y^2+4x^2+4

Detla(phi0)=fxx(phi0)*fyy(phi0)-f^2xy(Phi0)

Phi0=(x0,y0)

Delta(0,0)=-4*4-0=-16<0 => kein relatives Extremum
Delta(1,0)=8*8-0=64>0 => relatives Minimum, da fxx>0
Delta(-1,0)=8*8-0=64>0 => relatives Minimum, da fxx>0

[dj_m.o.h.t.]

Angabe:

Man bestimme die Extremwerte der Funktion f(x,y)=x+y unter der Nebenbedingung x^2+y^2-1=0.

Lösung:

HB: f(x,y)=x+y
NB: x^2+y^2-1=0

L...Lamda
GroßPhi(x,y,L)=(x+y)+L(x^2+y^2-1)

dGroßPhi/dx=1+2xL=0=>2xL=-1=>x=-1/2L
dGroßPhi/dy=1+2yL=0=>2yL=-1=>y=-1/2L

1/4L^2 + 1/4L^2 -1=0=>1/2L^2=1=>2L^2=1=>L^2=1/2 =>L1,2=+-1/Wurzel 2

x1,2 = +-Wurzel 2 / 2
y1,2 = +-Wurzel 2 / 2

=> E1(Wurzel 2 / 2,Wurzel 2 / 2)
E2(-Wurzel 2 / 2,-Wurzel 2 / 2)

[dj_m.o.h.t.]

Angabe:

Welcher Quader mit gegebener Oberfläche A besitzt maximales Volumen?

Lösung:

V=abc -> MAX
A=2ab+2bc+2ac

L...Lamda
GroßPhi(a,b,c,L)=abc+L(2ab+2bc+2ac)

dGroßPhi/da=bc+L(2b+2c)=0=>L(2b+2c)=-bc=>L=-bc/2b+2c
dGroßPhi/db=ac+L(2a+2c)=0=>L(2a+2c)=-ac=>L=-ac/2a+2c
dGroßPhi/dc=ab+L(2b+2a)=0=>L(2b+2a)=-ab=>L=-ab/2b+2a

ac - ab(2a+2c)/(2b+2a)=0=>ac(2b+2a)-ab(2a+2c)=0=>ac(2b+2a)=ab(2a+2c)=>2abc+2a^2c=2a^2b+2abc=>a^2c=a^2b=>c=b

b^2 - ab(2b+2b)/(2b+2a)=0=>b^2(2b+2a)-ab(4b)=0=>b^2(2b+2a)=ab(4b)=>2b^2+2ab^2=4ab^2=>2b^3=2ab^2=>b=a

=>a=b=c

[dj_m.o.h.t.]

Angabe:

Für welche Werte wird f(x,y,z)=xyz unter der Nebenbedingung xy+yz+zx=a und x+y+z=b möglichst groß?

Lösung:

HB: f(x,y,z)=xyz
1.NB: xy+yz+zx=a
2.NB: x+y+z=b

L...Lamda
GroßPhi(x,y,z,L1,L2)=(xyz)+L1(xy+yz+zx-a)+L2(x+y+z-b)

dGroßPhi/dx=yz+L1(y+z)+L2=0=>L2=-yz-L1(y+z)
dGroßPhi/dy=xz+L1(x+z)+L2=0=>L2=-xz-L1(x+z)
dGroßPhi/dz=xy+L1(x+y)+L2=0=>L2=-xy-L1(x+y)

xz+L1(x+z)-xy-L1(x+y)=0=>xz+L1x+L1z-xy-L1x-L1y=0=>xz-xy+L1z-L1y=0=>x(z-y)+L1(z-y)=0=>L1=-x

L2=x^2

x^2-(y+z)x+yz=0=>x1,2=y+z/2 +-Wurzel (x+y)^2/4 -yz => x1,2=y+z/2 +-Wurzel y^2+2yz+z^2-4yz/4 => x1,2=y+z/2 +-Wurzel y^2-2yz+z^2/4 => x1,2=y+z/2 +-Wurzel (y-z)^2/4 => x1,2 y+z/2 +- y-z/2

x1=y+z+y-z/2 =>x1=y
x2=y+z-y+z/2 =>x2=z

[Wings-of-Glory]

super thx!
aber wo ist die angabe? :)

[phlow]

... und wo die Lösung :mad:

Aber Sternderln bringen die Threads wenigstens ... gell

[dj_m.o.h.t.]

@Phlow: Was meinst du mit Sternderln? Das meine Beiträge gezählt werden? Das ist für mich nicht der Sinn und Zweck der ganzen Sache. Ich habe jetzt nur den Angabezettel nicht mitgehabt. Nach der Mathe-VO werde ich sofort die Angaben hinschreiben. Deswegen habe ich zwischen Angabe und Lösungen Platz frei gelassen. Macht euch keine Sorgen. Glaubt ihr, dass ich auf Sterndernl aus bin? Das nicht. Ich will euch helfen und ich werde es tun. Ganz egal, wieviele Beiträge ich schon verfasst habe. Die Angaben folgen nach der VO und die Lösungen entweder heute noch oder sonst morgen.

[Zentor]

Bitte lassen wir die Diskussion um Spammmen usw. hier sein. Hier sollte nur Mathematik besprochen werden und das restliche ist Offtopic.

nur kurz zu

Mir ist von Ordovicium aufgetragen worden, dass ich alle Beispiele nur in einem Thread posten soll und habe sozusagen eine Belehrung bekommen => Verlust meiner Beitragsanzahlen!
1. Das war eine Absprache unter uns Mods und keine Einzelaktion.
2. Wenn alle Beispiele in einem Thread stehen erleichtert dies das Ausdrucken enorm weil man nicht bei 5 Threads sich alles zusammenklauben muss.

mfg Zentor

[dj_m.o.h.t.]

@Zentor: Ich habe nicht gespammt. Warum soll ich spammen? Welchen Grund soll ich dafür haben? Ich hab ja nur die Mathebeispiel reingegeben und falls mal die Angabe nicht dabei steht, dann hat das ja auch seinen Grund. Hab halt nur den Zettel nicht dabei gehabt. Na und? Macht das was? Dafür stehen eh schon die Angaben dort und die Lösungen folgen noch nach.

:mad: Aber was rege mich mich denn so auf. Hilft ja eh nichts. Alles um Kaiser seinen Bart. Ich mache einfach alles wie gewohnt weiter und damit pasta. Aus mit der Diskussion.

[martin]

Original geschrieben von robby
Alles um Kaiser seinen Bart.
:D :D

*Sehr* genial. War's Absicht?

[Benno]

um wieder auf die mathematik zurück zu kommen!!! du hast bei bsp 33 einfach angenommen, dass x=0 ist, warum machst du das? x steht ja meiner meinung nach in relation mit y, da gibts dann folglich mehrere lösungen (die ua. von y abhängen)

kannst du das bitte kurz erklären?

[dj_m.o.h.t.]

Ich habe x=0 nicht als Lösung angenommen, sondern ich habe einfach den Ausdruck, was in der Klammer steht durchdividiert. Das heißt: 0/Klammerausdruck => 0 => 4x=0 Das durch 4 dividiert => x=0

Ok? Oder noch immer nicht ganz klar!

[Jeff_Mills]

Ist die Tangente nicht vertikal wenn y=0 und horizontal wenn x=0??

[Jeff_Mills]

folgendes gleichungsystem :

1=2xL(L=Lammda)
1=2yL
x^2+y^2-1=0


x=1/(2L)
y=1/(2L)

wir setzen x und y in die letze gleichung ein und erhalten:

1/(4L^2)+1/(4L^2)-1=0
2/(4L^2)=1
4L^2=1/2
L^2=1/8
L=Wurzel(1/8)
L=1/Wurzel(8)

wie bist du auf L=1/(Wurzel(2)) gekommen

[PliniusSecundus]

@ Bsp 31

horizontal bedeutet: dy/dx=0 =>man erhält dann x=-2y
vertikal: dx/dy=0 =>x=-8y

@ Bsp 34

Phi(x,y,L)=x+y+L(x^2+y^2-1)
Phi_x=1+2Lx
Phi_y=1+2Ly

Jeff_mills: Da ist wohl ein Fehler in deinem Gleichungssystem.

[asterix]

Hallo,

könnte jemand vielleicht Bsp.34,37,38 auch erklären?

lg

[Länz]

Original geschrieben von robby
Ich habe x=0 nicht als Lösung angenommen, sondern ich habe einfach den Ausdruck, was in der Klammer steht durchdividiert. Das heißt: 0/Klammerausdruck => 0 => 4x=0 Das durch 4 dividiert => x=0
Ok? Oder noch immer nicht ganz klar!

ganz klar was du gemacht hast, das Problem ist aber dass du das nicht darfst, weil dabei Lösungen verloren gehen!

Hast du nämlich ein Produkt gleich 0 musst du sämtliche Faktoren gleich 0 setzen, darfst allerdings nie einen der beiden wegdividieren und vernachlässigen!

x=0 ist zwar eine richtige Lösung, aber nicht die einzige.....
x^2+y^2+1=0 ergibt x=Wurzel(-1-y^2) und des is irgandsoa gschissane KomplexlerLösung....

weiters ergeben sich alleine durch das Einsetzen von x=0 folgende Lösungen y=0; y=+-1!

OK? Oder noch immer nicht ganz klar! ;)

[Joachim]

ist folgendes überhaupt zulässig??:

yz=lamda1(y+z)+lamda2
xz=lamda1(x+z)+lamda2
xy=lamda1(x+y)+lamda2


normalerweise muß man es doch so(siehe unten) machen, aber dann bekommt man mit dem Vorzeichen Probleme und es läßt sich nicht so schön lösen wie bei robby:

yz + lamda1(y+z)+lambda2 = 0
xz + lamda1(x+z)+lambda2 = 0
xy + lamda1(x+y)+lambda2 = 0

also alle drei gleichungen 0 setzen und erst dann ausrechnen...
aber dann bekommt ja für xz folgendes raus:
x(z-y) = lamda1(y-z) ...ich kann also nicht so schön wegkürzen wie robby, was ja für robby spricht, aber wie rechtfertigt man den ansatz von robby????

[Joachim]

betrifft bsp. 37:

@robby:
kannst du mir bitte diesen rechenschritt erklären:
lamda(4a+4b+4c)=O/2
lamda=ab/2b+2a

wie kommst du bitte darauf???

[Kenny]

@ joachim & bsp 38 ich habs genauso wie du, is dann mühsam zum ausrechnen deswegen hab ich mir das dann gar niht angetan, in der praxis würd ich mir einen mathematiker suchen und dem sagen rechne für mich ;)

wie robby darauf kommt, das so anzuschreiben: yz = lambda1(y+z) + lambda2 weiß ich auch nicht, weil eigentlich heißts ja:

ableitung = yz + lambda1(y+z) + lambda2 , also wenn man das yz auf die andere seite bringt wirds negativ

[shabby]

eine wohltat alles in einem thread zu haben

[Soulmerge]

Wäre es denn nicht möglich, den Moderatoren die Möglichkeit zu geben, eigene Folder zu erstellen? Wär praktischer, alle Beispiele einer Übung in einem Folder in mehreren Threads zu finden, hier verliert man ja vollkommen den Überblick...

[dj_m.o.h.t.]

Ich würde das auch gerne bevorzugen, aber Admin Ordovicium meint, dass die Beispiele nur in einem Thread sein sollen und nicht in fünf. Angeblich verursachen fünf Thread für ihn auch einen total ungünstigen Überlick. Aber ok! Ich werde mich daran halten, was mir aufgetragen worden ist. Wenn ich mich wahrscheinlich nicht daran halten würde, dann werde ich wahrscheinlich vom Forum verwiesen. Und das will ich natürlich auch nicht riskieren, da ich sehr viel für die Forum-Comunity beitrage.

[Shade]

kann mir mal jemand erklären wo das 4x(x^2+y^2-1)=0 => x=0
4y(x^2+y^2+1)=0
4y(y^2+1)=0 => y=0
=>E1(0,0)
bei Nr. 33 herkommt :confused:

[bluefoxx]

also ich verstehe auch nicht wo das ??? problem ??? liegt für jedes bsp. ein eigenes thread zu öffnen, so wie es jetzt ist, ist es meiner meinung nach sehr unübersichtlich,...

bFXx

[tricipitinus]

was soll das ganze?
alles in einenn thread is noch unübersichtlicher als vorher..was is los mit den mods?
platz sparen??in zeiten von 120gb hdd's??
wie gehts euch?
und der robby is wohl alles andere als ein spamer..

was ich gut fände ist, wenn der robby die neuesten erkenntnisse/verbesserungen aus den unteren thread dann auch gleich in die obersten, also seine lösung übernehmen könnte, er kennt sich wohl am besten aus, was gemeint ist mit den änderungen..das würde den unwissenderen das wühlen in vorschlagen und unsicherheiten anderer poster ersparen..


..so long, and thx for all the maths ;)

[Petzi]

ich finde auch, dass es besser wäre jedes Bsp in einem eigenen Thread zu geben, weil`s ja wirklich viel übersichtlicher is
denn wenn die 5 Bsp in einem Thread is muss man sich erst alles irgendwie zusammensuchen

Ich find`s überhaupt subba von Robby, dass er immer die Mathe-Bsp postet, denn ohne seine Lösungen wären ein paar wohl ziemlich aufgeschmissen

daher ein großes THX an Robby!! :-)

[phlow]

Original geschrieben von tricipitinus
was soll das ganze?
alles in einenn thread is noch unübersichtlicher als vorher..was is los mit den mods?
platz sparen??in zeiten von 120gb hdd's??
wie gehts euch?
und der robby is wohl alles andere als ein spamer..


OK, also erstmal: uns gehts ganz gut, danke ... wir alle machen das hier freiwillig und ohne uns gäbe es dieses Forum nicht, daher glaube ich nicht dass ich das jetzt zu ernst nehmen werde ;)
Wir opfern sehr viel unserer Freizeit für dieses Forum, und wenn wir etwas entscheiden, dann hat das auch (meistens ;) ) Hand & Fuss.
Was uns gestört hat und warum wir Robby die PN geschrieben haben war folgendes: wir fanden plötzlich in JEDER Gruppe lauter leere Beiträge vor in denen nur die Angabe der BSP der nächsten Wochen stand. Dass das nicht sinnvoll ist brauche ich nicht zu erwähnen (wobei wir auch nicht damit rechnen konnten, das Robby jetzt auch freiwillig die Bsp der anderen Gruppen rechnet)

Conclusio: Robby darf natürlich für jedes BSP ein Topic aufmachen, ABER bitter erst wenn du auch die Lösung bzw eine Frage dazu hast ... was uns halt stört ist, dass hier eine halbe Woche lang 15 Topics rumkugeln, in denen nix (oder nur die Angabe) drin steht. Das ist NICHT sinnvoll, da jeder reinschaut und sich ärgert.
=> Gerne neue Topics, dann aber auch schon MIT contend!!!
Hoffe das war jetzt gut verständlich und jeder versteht um was es geht.
Selbsverständlich kann auch jeder andere zu den Bsp ein Topic eröffenen (Lösungen/ Fragen) wenn noch keines besteht.


was ich gut fände ist, wenn der robby die neuesten erkenntnisse/verbesserungen aus den unteren thread dann auch gleich in die obersten, also seine lösung übernehmen könnte, er kennt sich wohl am besten aus, was gemeint ist mit den änderungen..das würde den unwissenderen das wühlen in vorschlagen und unsicherheiten anderer poster ersparen..


Das kann er sowieso! Jeder hier kann seine eigenen Postings editieren.

mfg
Phlow

PS: es gibt auch Leute die alles in einem Thread haben wollen ... man wird es wohl leider nie allen recht machen können, aber so ist das nun mal

[Ordovicium]

Puh, viel mehr kann ich dazu nicht sagen, weil Phlow eigentlich schon unsere Meinung hier gepostet hat.
Das mit dem alles in einem Thread, war von mir ein Blödsinn, und ich gebe es zu. Keine Ahnung wie ich auf sowas gekommen bin. Was uns gestört hat, dass nur die Angabe im Thread drin war. Da macht man einen Thread auf in der Hoffnung, dass man Hilfe bekommt, und dann steht nur die Angabe drin. Dann wird mächtig diskutiert, und irgendwann am Ende findet man die Lösung. Das ist doch nicht Überschaubar.
Es ist nun mal verdammt schwierig einen Mittelweg zu finden, dass alle glücklich sind.

dann werde ich wahrscheinlich vom Forum verwiesen. Und das will ich natürlich auch nicht riskieren, da ich sehr viel für die Forum-Comunity beitrage.

Da brauchst du keine Ängste haben, da wir alle wissen, wieviel Arbeit du ins Forum steckst. Da müsste schon schlimmeres passieren.

@Robby: Das mit dem editieren finde ich auch eine gute Idee, da man auch gleich sehen kann, wann das Posting editiert wurde. Somit kann man 100% sicher sein, dass man am aktuellsten Stand ist. (Luxus wäre, wenn du die Änderungen fett oder andersfärbig machst :)
Dies bleibt aber dir überlassen).

Ich hoffe, dass damit alles geklärt wurde, und verbleibe

mfg
Ordovicium

[Wings-of-Glory]

Ich schließe mich dem an und freu mich schon auf
Robbys FETTE LÖSUNGEN :thumb: