prüfungsordner drmota 19.03.2004

[buechsengustel]

hi leute,

wir waren heute zwar nur zu zweit (soweit ich das mitgekriegt habe), die die mathe 1 prüfung beim drmota gemacht haben, aber vielleicht interessiert sich ja trotzdem wer für den po:

praktischer teil:

1.)
Man erläutere das Prinzip der vollständigen Induktion anhand des folgenden Beispiels:

cos(x) cos(2x) cos(4x) ... cos(2^(n-1) x) = (sin(s^n x)) / (2^n sin(x))

für alle n aus |N+, x aus |R, x != k*pi
Alle Schritte des Induktionsbeweises sind genau anzugeben!
(Hinweis: verwenden Sie die Identität: sin(2x) = 2 sinx cosx )

2.)
Bestimmen Sie det(A^3) für

/ 1 4 1 2 \
A= | 3 12 2 2 |
| 1 4 7 -3 |
\ 1 2 3 8 /

Bestimmen Sie weiters, ob die Matrix A invertierbar ist und bestimmen Sie ggf. det(A^(-1)).

3.)
Bestimmen Sie alle Lösungen über |R von
x - y + z + u = -2
2x + y - 2z + u = 2
7x + 5y - 9z + 3u + v = 10

mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren.

4.)
Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:

a) unendl. b) unendl.
---- ----
\ n - 1 \ 2n
> ------- > (-1)^n -------
/ 5^n / n^2 + 2
---- ----
n=1 n=1

[buechsengustel]

Theoriefragen:

1.)
Wann ist R Teilmenge von MxM eine Äquivalenzrelation?
Alle definierenden Eigenschaften sind genau anzuführen.
(4 Punkte)

2.)
Was versteht man unter einer Permutation einer endlichen Menge?
Was versteht man unter einer Permutation einer endlichen Multimenge?
Geben Sie jeweils auch eine Formel für die Anzahl an!

Wieso entsprechen die Permutationen einer Multimenge, die aus k-mal dem Element a und (n-k)-mal dem Element b besteht, den k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge?
(4 Punkte)

3.)
Wie sind die algebraischen Strukturen Gruppoid, Halbgruppe, Monoid und Gruppe definiert?
Alle Eigenschaften genau
(4 Punkte)

4.)
Wann ist eine eine Abbildung f: |R -> |R stetig an der Stelle x0?
Wann ist eine eine Abbildung f: |R -> |R differenzierbar an der Stelle x0?
Wann ist eine eine Abbildung f: |R -> |R stetig differenzierbar an der Stelle x0?
(4 Punkte)

5.)
Wie ist der Rang rg(A) einer Matrix A definiert?
(1 Punkt)

6.)
Wann ist eine Abbildung f: U -> V (U,V Mengen) surjektiv?
(1 Punkt)

[reddi]

die prüfung schaut ja nicht unbedingt schoen aus, lauter bsp. wo man lange zum rechnen braucht!

wie ist es euch gegangen dabei?

[buechsengustel]

die prüfung schaut ja nicht unbedingt schoen aus, lauter bsp. wo man lange zum rechnen braucht!
hm? findest du? ich fand die prüfung, v.a. den praktischen teil, eigentlich ziemlich fein! nichts unerwartetes, keine sonderfall-beispiele, überall recht schöne ergebnisse...

beim theoretischen teil muss man halt die ganzen definitionen auswendig kennen, das liegt mir weniger, da war ich wohl nicht so suppi.

[Selina]

Hi,
danke fuer den Po, den koennen sicher noch einige brauchen. will nicht unverschaemt werden, aber koenntet ihr bitte eure Ergebnisse posten sofern ihr sie habt. Bsp. 1 wurde schon im Forum gerechnet.
Bei der Determinante kommt mir 821 raus. Die Inverse ist dann 1/821

gruss
selina:)

[memo22]

2.)
Bestimmen Sie det(A^3) für
Code:
/ 1 4 1 2 \
A= | 3 12 2 2 |
| 1 4 7 -3 |
\ 1 2 3 8 /
Bestimmen Sie weiters, ob die Matrix A invertierbar ist und bestimmen Sie ggf. det(A^(-1)).

hat wer die lösung von dem bsp bzw. gelöst

[Sir Bobolo]

2.)
Bestimmen Sie det(A^3) für
Code:
/ 1 4 1 2 \
A= | 3 12 2 2 |
| 1 4 7 -3 |
\ 1 2 3 8 /
Bestimmen Sie weiters, ob die Matrix A invertierbar ist und bestimmen Sie ggf. det(A^(-1)).

hat wer die lösung von dem bsp bzw. gelöst


det(A^3) = (det A)^3
det(A)= -170
det(A^3) = -4913000

kann das stimmen?

wenn das stimmt gibt es eine inverse matrix (det !=0) aber die auszurechnen ist echt mühsam!

aber zum Glück:

Falls A invertierbar ist, dann ist http://upload.wikimedia.org/math/5/4/9/54913fcb548a23c5a15c88fc2c8b8020.png.

[Neo_II]

matlab sagt:

det(A) = -58
det(A)^3 = -195.112

det(A^-1) = det(A)^-1 = -0,0172

werd's aber sicher selber nochmal nachrechnen... wenn das det-rechnen nur net so viel schreibarbeit wär. und wehe man vertauscht ein vorzeichen :(

[Sir Bobolo]

ja die vorzeichen sind mein untergang ;)

[Jacko]

matlab sagt:

det(A) = -58
det(A)^3 = -195.112

det(A^-1) = det(A)^-1 = -0,0172

werd's aber sicher selber nochmal nachrechnen... wenn das det-rechnen nur net so viel schreibarbeit wär. und wehe man vertauscht ein vorzeichen :(

ich komme auch auf -58 und die anderen werte!

http://wikiserver.mdmt.tuwien.ac.at/lva/118149/PO_Drmota20040319#Beispiel_2.

hat vielleicht irgendjemand ahnung von folgen und reihen?
gibts da eine bestimmte regel, nach der man die versch. kriterien anwendet?

lg jacko

[aMigO_]

hat vielleicht irgendjemand ahnung von folgen und reihen?
gibts da eine bestimmte regel, nach der man die versch. kriterien anwendet?

lg jacko


genau die selbe Frage wollte ich gerade auch in einem neuen Thread stellen..

hat wirklich niemand eine Ahnung wie man da vorgeht?
wie schauen die einzelnen Schritte aus? woher weiß man welches Kriterium man anwendet? im Buch/Skriptum find ich dazu nix brauchbares..:rolleyes:

[Sir Bobolo]

genau die selbe Frage wollte ich gerade auch in einem neuen Thread stellen..

hat wirklich niemand eine Ahnung wie man da vorgeht?
wie schauen die einzelnen Schritte aus? woher weiß man welches Kriterium man anwendet? im Buch/Skriptum find ich dazu nix brauchbares..:rolleyes:

Konvergenzkriterium:
ein einfacher bruch bei dem man das gefühl hat es lässt sich alles schön wegkürzen und der limes sich bilden. |an+1/an|<1 dann konvergent

Wurzelkriterium
wenn ich zb (an)^n habe dann bietet sich das natürlich supa an! (sqrt(n)(an))<1 dann konvergent

[michaelh]

kann wer die lösung für das 3. bsp (gaußsche eliminationsverfahren) posten? bring das einfach nicht hin!

danke schon mal

[Jacko]

kann wer die lösung für das 3. bsp (gaußsche eliminationsverfahren) posten? bring das einfach nicht hin!

danke schon mal

ich hab das mal im wiki gerechnet!
hoffe das stimmt so!
wurde von drmota auf jeden fall so ähnlich in der vo gerechnet mit der parameterdarstellung!

http://wikiserver.mdmt.tuwien.ac.at/lva/118149/PO_Drmota20040319#Beispiel_3.

hoffe es hilft!

lg jacko

[michaelh]

ich hab das mal im wiki gerechnet!
hoffe das stimmt so!
wurde von drmota auf jeden fall so ähnlich in der vo gerechnet mit der parameterdarstellung!

http://wikiserver.mdmt.tuwien.ac.at/lva/118149/PO_Drmota20040319#Beispiel_3.

hoffe es hilft!

lg jacko

hallo! ich komme auf die gleiche lösung mit dem eliminationsverfahren nur steh ich jetzt an! wie sehe ich, dass es unendlich viele lösungen gibt?

[Jacko]

hallo! ich komme auf die gleiche lösung mit dem eliminationsverfahren nur steh ich jetzt an! wie sehe ich, dass es unendlich viele lösungen gibt?

also das is im buch auf Seite 124 (Mathematik für Informatiker) gut erklärt, unser beispiel wäre die dritte möglichkeit! im skriptum is auf seite 89 erklärt

diese trapezform ergibt unendlich viele lösungen!

lg jacko

[aMigO_]

ich versteh den letzten Schritt nicht ganz:
x - u/3 + 2v/3 = 0 --> x = u/3 - 2v/3
y -4u/3 - v/3 = 2 --> y = 2 + 4u/3 + v/3

du nimmst diese Werte doch von weiter oben?!:
1 0 -1/3 2/3 | 0 = Z1 - 1/3*Z2
0 1 -4/3 -1/3 | 2 = Z2*1/3

die Reihenfolge ist doch x-y-z-u-v
müsste es daher nicht heißen:
x - z/3 + 2u/3 = 0
y - 4z/3 - u/3 = 0


lg

[Jacko]

ich versteh den letzten Schritt nicht ganz:
x - u/3 + 2v/3 = 0 --> x = u/3 - 2v/3
y -4u/3 - v/3 = 2 --> y = 2 + 4u/3 + v/3

du nimmst diese Werte doch von weiter oben?!:
1 0 -1/3 2/3 | 0 = Z1 - 1/3*Z2
0 1 -4/3 -1/3 | 2 = Z2*1/3

die Reihenfolge ist doch x-y-z-u-v
müsste es daher nicht heißen:
x - z/3 + 2u/3 = 0
y - 4z/3 - u/3 = 0


lg


du hast recht!

ich hab am ende die falschen genommen statt, z und u, u und v
v = 0 daher hab ich das nicht weiter beachtet!

sonst passts eh, nur halt die vertauschen!

lg jacko

[aMigO_]

ad Konvergenzkriterium

- wie muss ich das q wählen?

weiß das hier wirklich keiner???


- wie kommt ihr auf das richtige kriterium zum überprüfen auf konvergenz? (bei alternierenden ist es verständlich, sonst jedoch nicht)

bleiben also noch 2 andere Kriterien.. ich versuch es zuerst mit dem Quotientenkriterium, wenn ich dadurch zu keiner Aussage komm, nimm ich das Wurzelkriterium...so stehts halt im Buch - aber ich check noch immer nicht wie man das Wurzelkriterium anwendet

[Jacko]

ad Konvergenzkriterium

weiß das hier wirklich keiner???


bleiben also noch 2 andere Kriterien.. ich versuch es zuerst mit dem Quotientenkriterium, wenn ich dadurch zu keiner Aussage komm, nimm ich das Wurzelkriterium...so stehts halt im Buch - aber ich check noch immer nicht wie man das Wurzelkriterium anwendet

habe die frage mit dem q mal woanders gesucht. da ist herausgekommen, dass das q einfach irgendeine beliebige zahl sein kann. das soll nur sicherstellen, das es dann wirklich kleiner als 1 ist! find ich zwar unsinnig, ein < 1 hätte meiner meinung nach auch gereicht aber egal!

Frag zu finden unter:
http://www.matheraum.de/read?i=278518
und die antwort dazu
http://www.matheraum.de/read?i=278554

[narcotizer]

habt ihr das wurzelkriterium durchgemacht, heuer in der VO?

hab das nicht in meinem skript, das schon ein wenig älter is....

[styts]

ja, allerdings steht bei mir im heft keine beispiele dazu.
nur das die definition <=> |an| <= q^n

[creature]

Ad Bsp 1:

Da kann irgendwas nicht stimmen. Was soll dieses s^n sein?
Habe es mit s=2 versucht, kommt aber bei n=2 nicht das richtige mehr raus.

Ad Bsp 2:

Habe ebenfalls |A| = -58, und |A|^-1 = -58^-1

Ad Bsp 4:
a)
\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n-1}{5^{n}}}

Quotientenkriterium:
\left| \frac{\frac{n}{5^{n+1}}}{\frac{n-1}{5^{n}}} \right|\; <\; 1 \to \; \left| \frac{n\; \cdot \; 5^{n}}{\left( n-1 \right)\; 5^{n+1}} \right|\; =\; \left| \frac{n}{\left( n-1 \right)\; 5} \right|\; =\; \left| \frac{n}{\left( n-1 \right)\; 5} \right|\; =\; \left| \frac{n}{5n-5} \right|\; =\; \; \left| \frac{1}{5-\frac{5}{n}} \right|\; =\; \to\; \left| \frac{1}{5} \right|\; <\; 1\; \;
Also Konvergent.
b)

Alternierende Reihe
Satz von Leibnitz anwendbar. Zu zeigen: \lim_{n\to\infty}=\left|a_n\right| = 0
\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n^{2}+2}\; = \lim_{n\to\infty}\; \frac{2}{n+\frac{2}{n}} = \lim_{n\to\infty}\; \frac{2}{n}\; =\; 0
=> Reihe ist konvergent.

[narcotizer]

ad bsp 1:

das dürfte ein fehler sein, das is die angabe und damit klappts auch ;)

cos(x)*cos(2x)*cos(4x)... cos [2^(n-1)x] = sin (2^n x) / 2^n sin(x)

[creature]

Ja, dann ist es ziemlich simpel :)

Ad 1:

\frac{\sin \left( 2^{n}x \right)}{2^{n}\sin x}\cdot \cos \left( 2^{n}x \right)\; =\; \frac{\sin \left( 2^{n+1}x \right)}{2^{n+1}\sin x}\\\frac{\sin \left( 2^{n}x \right)}{2^{n}\sin x}\cdot \cos \left( 2^{n}x \right)\; =\; \frac{2\; \cdot \; \sin \left( 2^{n}x \right)}{2^{n+1}\sin x}\cdot \cos \left( 2^{n}x \right)\\\frac{\sin \left( 2^{n}x \right)}{2^{n}\sin x}\cdot \cos \left( 2^{n}x \right)\; =\; \frac{\; \sin \left( 2^{n}x \right)}{2^{n}\sin x}\cdot \cos \left( 2^{n}x \right)

[Porno Alle]

det(A^3) = (det A)^3
det(A)= -170
det(A^3) = -4913000 Stimmt es wirklich das man bei dem Beispiel nicht die Matrix invertiert, sondern nur die Determinante? Was soll das genau bringen?

Ist nicht mit A^3 der dritte Hauptminor gemeint?

[Maho]

Ja, dann ist es ziemlich simpel :)

Ad 1:

\frac{\sin \left( 2^{n}x \right)}{2^{n}\sin x}\cdot \cos \left( 2^{n}x \right)\; =\; \frac{\sin \left( 2^{n+1}x \right)}{2^{n+1}\sin x}\\\frac{\sin \left( 2^{n}x \right)}{2^{n}\sin x}\cdot \cos \left( 2^{n}x \right)\; =\; \frac{2\; \cdot \; \sin \left( 2^{n}x \right)}{2^{n+1}\sin x}\cdot \cos \left( 2^{n}x \right)\\\frac{\sin \left( 2^{n}x \right)}{2^{n}\sin x}\cdot \cos \left( 2^{n}x \right)\; =\; \frac{\; \sin \left( 2^{n}x \right)}{2^{n}\sin x}\cdot \cos \left( 2^{n}x \right)

Wie kommst du auf die linke Seite?
Ist das der Induktionsbeweis?
Gibt es hier auch Induktionsanfang?

Bin ein bisschen verwirrt, weil sich das Beispiel von den Induktionsbespielen in den Übungen sehr unterscheidet.