Wie löst man dieses Integral?

[Cheez]

Hallo


Wie löse ich folgendes Integral?

Integral ( sqrt((2x+1)/2x) dx) ?

Ein Ansatz würde mir sehr helfen

Danke
Cheez

[MichiK]

Irgendwie so:

substituieren mit x = (sinh(u)^2) / 2 ==> u = arsinh(sqrt(2x))

Int[ sqrt((2x+1)/(2x)) ] dx = Int[ sqrt((sinh(u)^2+1)/(sinh(u)^2)) ] dx =
Int[ sqrt((cosh(u)^2)/(sin(u)^2)) ] dx = Int [ cosh(u) / sinh(u) ] dx =

dx = 1/2 * 2*sinh(u)*cosh(u) du = sinh(u)*cosh(u) du

Int[ (cosh(u) / sinh(u)) * (sinh(u)*cosh(u)) ] du =
Int[ cosh(u)^2 ] du = (e^2u)/8 - (e^-2u)/8 + u/2 = (1/4)*sinh(2u) + u/2 =

(1/4)*2*sinh(u)*cosh(u) + u/2 = (1/2)*sqrt(2x)*sqrt(1+sinh(u)^2) + u/2 =
(1/2)*sqrt(2x)*sqrt(1+sqrt(2x)^2) + u/2 = (1/2)*sqrt(2x)*sqrt(1+2x) + u/2
(1/2)*sqrt(2x)*sqrt(1+2x) + arsinh(sqrt(2x))/2

daher:
Int[ sqrt((2x+1)/(2x)) ] dx = (1/2)*sqrt(2x)*sqrt(1+2x) + arsinh(sqrt(2x))/2 + C

[Cheez]

Vielen Dank
lg
Cheez