Verteilungsfunktion bestimmen

[Stella]

Bsp) Eine stochastische X nimmt den Wert 1 mit Wahrscheinlichkeit 1/4 an. Der Rest ist im Intervall (1,3) kontinuierlich uniform verteilt.

Wie kann man aus so einer Angabe die Verteilungsfunktion berechnen bzw. zeichnen?
Bei manchen Aufgaben soll man aus der Zeichnung die Verteilungsfunktion aufstellen. Wie geht man bei solchen Beispielen vor??

[locutus]

Bsp) Eine stochastische X nimmt den Wert 1 mit Wahrscheinlichkeit 1/4 an. Der Rest ist im Intervall (1,3) kontinuierlich uniform verteilt.
aufgrund der punktwahrscheinlichkeit springt die verteilungsfunktion an der stelle 1 von 0 auf 1/4. durch die kontinuierlich uniforme verteilung auf dem intervall (1,3) steigt die verteilungsfunktion in diesem intervall linear von 1/4 auf 1.

wenn die punktwahrscheinlichkeiten bzw die dichtefunktion aufgezeichnet sind, dann erhält man durch integrieren dieser funktion die verteilungsfunktion.

[Sensei]

also wenn das nur so gegeben ist geh ich da immer so ran:

koordinatensystem für den gewünschten bereich zeichnen, d.h. y-Achse von 0 bis 1 (in einem größeren Maßstab als 1cm), und die x-Achse geht in diesem bsp. zB von 1 nach 3.

Dann zeichnest du mal den Sprung von 0 auf 1/4 an der Stelle 1 ein. und dann verbindest du noch diesen Punkt (1/0,25) mit dem Punkt (3/1) um die Verteilungsfunktion zu komplettieren.
Die Verteilungsfunktion jetzt mit Zahlen aufzuschreiben is auch nicht mehr schwierig.
überleg dir einfach den Anstieg von dem kontinuierlichen Stück ( k=y-Richtung/x-Richtung)
Also hier zB: y-Richtung: 3/4, x-Richtung: 2 (von 1 bis 3 :=2)
d.h. Anstieg k = (3/4) / 2 = 3/8
und dann musst du noch um eine Konstante d ausgleichen; einfach überlegen, wie du an der Stelle 1 auf 1/4 kommst... hier zB -1/8

d.h. F(x) = 3/8*x - 1/8 (1<=x<3)
und davor 0 und danach 1 (das sollte man auch noch schön aufschreiben).

Hab das Beispiel jetzt nur so im Ko0pf durchgemacht, also keine Garantie, aber ich denke es passt ungefähr was ich geschrieb3en hab.

@locutus/stella:

was meint ihr mit dichtefunktion gegeben, die man integrieren muss?!? hab solche angaben nicht...! wie is das jetzt gegeben? richtig aufgezeichnet und man muss die dichtefunktion ablesen und dann integrieren oder wie?
und wie geht man dann mit so sprungstellen um (können die überhaupt in der dichte vorkommen?) und wie mit so einem 'knick'...?
könnte jemand eine angabe posten?

[Stella]

@Sensei: Wie kommst du bei der Stella 1 auf -1/8?? Alles andere is jetzt klar, danke!!

Hier ist ein Beispiel, bei dem die Dichtefunktion durch eine Zeichnung gegeben ist. Kann mir jemand erklären, wie man auf die Lösung kommt??

Bsp 26.1.00

Die Abbildung zeigt die Dichtefunktion einer sGn X:
x-Achse von -1 bis 3: y-Achse hat keine Werte
Funktion geht an der Stelle -1 von 0 weg, geht kontinuierlich zum Punkt (0/y) und geht kontinuierlich zum Punkt (3/0)

(a) Ermitteln Sie die genaue Form der Dichte.
(b) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion und erstellen Sie eine Skizze.
(c) Berechnen Sie E(X) und Var(X).

LÖSUNG:
Fläche unter einer Dichte ist 1. -> h = 1/2

Dichtefunktion f(x) :
(x+1)/2 für -1 <= x <0
(3-x)/6 für 0<=x<=3
0 für x<-1 v x>3

F(x) :
0 für x<-1
1/4*(x²+2x+1) für -1<=x<0
1/12*(-x²+6x+3) für 0<=x<3
1 für x>= 3

[Sensei]

nein, du musst auf 1/4 kommen. das -1/8 ist der konstante anteil der noch dazu addiert werden muss; in der geradengleichung das d aus y=kx+d

also an der stelle 1:

F(1) = 3/8*1 - 1/8 = 2/8 = 1/4

ich wollte damit nur erklären wie man auf das d kommt aus der geradengleichung...!

[patricasso]

@Sensei:

Bsp 26.1.00

Die Abbildung zeigt die Dichtefunktion einer sGn X:
x-Achse von -1 bis 3: y-Achse hat keine Werte
Funktion geht an der Stelle -1 von 0 weg, geht kontinuierlich zum Punkt (0/y) und geht kontinuierlich zum Punkt (3/0)

(a) Ermitteln Sie die genaue Form der Dichte.
(b) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion und erstellen Sie eine Skizze.
(c) Berechnen Sie E(X) und Var(X).

LÖSUNG:
Fläche unter einer Dichte ist 1. -> h = 1/2

Dichtefunktion f(x) :
(x+1)/2 für -1 <= x <0
(3-x)/6 für 0<=x<=3
0 für x<-1 v x>3

F(x) :
0 für x<-1
1/4*(x²+2x+1) für -1<=x<0
1/12*(-x²+6x+3) für 0<=x<3
1 für x>= 3Ich weiß nur dass der Integral in den Grenzen des Intervalls gleich 1 sein muss. Also die Fläche unter der Verteilung ist 1 (irgendwie eh logisch).
Den Rest wie's weitergeht geb ich mir aber erst morgen :D

Edit:
aso, stand eh schon in der Lösung -tschuldigung!

[Sensei]

also dass die fläche unter der vtlg-fkt 1 sein muss is ein blödsinn. das gilt für die dichtefunktion!!!!!
die vtlg. funktion hat ja ab einem bestimmten wert bzw bei limes n-->unendl den y-wert 1 ... !!!
oder du meinst jetzt die dichte (was ich eher glaube...)!

[patricasso]

ja, hast recht. Nach 6 Stunden Statistik raucht halt schon da Schädel.

[locutus]

Sprung von 0 auf 1/4 an der Stelle 1
hier will ich noch der vollständigkeit halber anmerken, dass bei sprungstellen in der verteilungsfunktion das minimum mit einem kreis und das maximum mit einem ausgefüllten punkt dargestellt wird, weil die wahrscheinlichkeit an der stelle = x bereits erreicht ist und nicht erst bei > x (nur um unnötigen punkteabzügen bei der prüfung entgegen zu wirken)
was meint ihr mit dichtefunktion gegeben, die man integrieren muss?!? hab solche angaben nicht...! wie is das jetzt gegeben? richtig aufgezeichnet und man muss die dichtefunktion ablesen und dann integrieren oder wie?
und wie geht man dann mit so sprungstellen um (können die überhaupt in der dichte vorkommen?) und wie mit so einem 'knick'...?
könnte jemand eine angabe posten?
das war nur eine theoretisch mögliche angabe ... eine (gemischte) verteilung kann durch graphische darstellung der punktwahrscheinlichkeiten (diskreter anteil) und dichte (kontinuirlicher anteil) gegeben sein. beim "integrieren" dieser "dichte" werden die punktwahrscheinlichkeiten einfach aufaddiert. für die sprungstellen ist die dichtefunktion jedoch nicht definiert, weil die verteilungsfunktion an diesen stellen auch nicht differenzierbar ist.

[Sensei]

ok ich checks immer noch nicht wirklich...
also gegeben ist eine dichtefunktion; sagen wir sie ist eine gerade x/4+1/8
und dann sind die punkt-wks gegeben mit w{X=0}=0,1 und W{X=1}=0,2

wie würde man da jetzt auf die gemeinsame verteilungsfunktion kommen?
Könntest du das kurz durchzrechnen, ich checks im Moment einfach nicht!

[locutus]

also gegeben ist eine dichtefunktion; sagen wir sie ist eine gerade x/4+1/8 und dann sind die punkt-wks gegeben mit w{X=0}=0,1 und W{X=1}=0,2
das x in der dichtefunktion muss noch durch intervalle beschränkt werden, damit das integral von (x/4 + 1/8) von -infinity bis +infinity den restlichen kontinuierlichen anteil auf 1 (in diesem fall 0,7 = 1 - 0,3) ergibt. in diesem fall steigt die verteilungsfunktion an den stetigkeitsstellen polynomiell an (wegen integral(x/4 + 1/8) = x²/8 + x/8 + c), was halt nicht so einfach zu zeichnen ist. deswegen kenne ich bis jetzt nur prüfungsbeispiele mit der uniformen verteilung, deren dichtefunktion eine konstante und deren verteilungsfunktion somit eine (einfach zu zeichnende) gerade ist.

[Sensei]

d.h. da wäre zB die dichte gegeben mit y=0,2 in den grenzen 0-4 und der diskrete anteil wäre dann noch, W{X=0}=0,2.
Die Fläche unter der Dichte plus Punktverteilung wäre also 1.

Jetzt würde ich hergehen und integirieren, also 1/5*x + c wäre mal die Verteilungsfunktion. Dann zeichne ich mal den sprunghaften anstieg bei 0 auf 1/5 und der rest wird dann eine gerade von (0,1/5) bis (4,1) welche genau den anstieg 1/5 hat (was für eine überraschung).
und die konstante c bekommt dann eben den wert 1/5.
also ist F(x) = 1/5*x + 1/5 (0<=x<4) und 0 vorher und 1 nachher.

Hab ich das jetzt richtig verstanden?
danke für deine Hilfe!

[locutus]

Hab ich das jetzt richtig verstanden?
danke für deine Hilfe!
vollkommen richtig :thumb: möge sich meine hilfe positiv auf den notenschnitt auswirken ;)