Chi^2-Test für zusammengesetzte Hypothesen

[Sensei]

Hi!

Wenn ich es richtig verstanden habe, braucht man den Chi^2-test für zusammengesetzte Hypothesen dann, wenn man eine beobachtete Größe hat und eine vermutung hat, wie sie verteilt ist und aber den (die) Parameter auch noch schätzen muss. Richtig?

Ok. Dann zu folgendem Beispiel (Prf 24. Juni 03)

--------------------------------------------------------------------------
3)
Eine stoch. Größe X mit Merkmalraum M_X={0,1,2,3,...} wurde mehrfach
beobachtet:

x _________ 0 _ 1 _ 2 _ 3 _ 4 _ 5 _ 6 od. mehr
Häufigkeit__.16_17_13 _10_ 3 _ 1 ___0

Es besteht die Vermutung, dass es sich um Beobachtungen einer
Poissonverteilung handelt. Testen Sie die Vermutung mittels
Ch^2-Anpassungstest (mit alpha = 5%).
--------------------------------------------------------------------------

Ok... da müsste doch der Test für zusammengesetzte Hypothesen zum Einsatz kommen, oder? Dann müsste man also den Parameter my erst mal schätzen. ABER WIE?
Im Buch steht dafür keine Schätzfunktion und deshalb habe ich versucht, es mir selbst auszurechnen. Sprich die allg. Punkt-WKs ausmultiplizieren (alles ganz allgemein und dann abzuleiten nach my und dann gleich 0 setzen.
Dann kommt mir my = 3/34560 raus (nach einsetzen der konkjreten Werte).
Das kanns aber irgendwie nicht sein, oder?

Stehe also bei diesem Beispiel total an und bräuchte dringend Hilfe!

thx, Sensei

[patricasso]

Ok. Dann zu folgendem Beispiel (Prf 24. Juni 03)

--------------------------------------------------------------------------
3)
Eine stoch. Größe X mit Merkmalraum M_X={0,1,2,3,...} wurde mehrfach
beobachtet:

x _________ 0 _ 1 _ 2 _ 3 _ 4 _ 5 _ 6 od. mehr
Häufigkeit__.16_17_13 _10_ 3 _ 1 ___0

Es besteht die Vermutung, dass es sich um Beobachtungen einer
Poissonverteilung handelt. Testen Sie die Vermutung mittels
Ch^2-Anpassungstest (mit alpha = 5%).
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Ich kenn die Angabe zwar nicht genau aber den plausiblen Schätzer berechnet man indem man einfach den Arithmetischen Mittelwert berechnet (warum jetzt auch immer - die Theorie ist mir noch nicht so klar :shinner:, aber es geht so!).

In diesem Fall würd's so ausschauen:

-
x = 0*16 + 1*17 + 2*13 + ... + 5*1 + 6*0
..... _________________________________
............................. 60

Also die Summe der einzelnen Produkte durch die Summe der Häufigkeiten.

müsste also dann 90/60 = 1,5 rauskommen, falls ich mich nicht irgendwo verrechnet hab.

[Sensei]

hmmm.... das geht also bei der poisson-vtlg auch? dachte immer das is nur der plausible schätzer bei der normalverteilung...!

die angabe hab ich eh oben hingeschrieben.
aber wenn du meinst es geht so dann dürft das eh so passen wie dus geschrieben hast...!

[patricasso]

Laut Musterlösung vom 29.01.2002 (ANGABE: Eine Hypothese besagt, dass X poissonverteilt ist: X ~ Pmy ... Frage c. Berechnen Sie den plausiblen Schätzwert von my.)
geht das auch mit der Poisson-Verteilung.

[Sensei]

Könnte jemand das Beispiel vielleicht durchrechnen? für my bekomm ich auch 1,5 aber bin mir nicht sicher ob ich dann richtig weitergetan hab.

als 'klassen' hab ich einfach die diskreten werte genommen, die angenommen wurden, also 1,2,3,4,5 und hab mir zu diesen die punktwahrscheinlichkeiten laut poissonverteilung (mit my=1,5) ausgerechnet. dann hab ich mit 60 multipliziert (weil die größe 60 mal beobachtet wurde).

nur hab ich jetzt das problem, dass nw < 5 ist bei 4 und 5, was es allerdings nicht sein darf/sollte. wie geht man da vor?

hab mal trotzdem weitergerechnet und dann kommt mir als summe = 2,1122 raus.

die chi^2 vtlg mit r-s-1 = 6-1-1 = 4 freiheitsgraden hat beim 1-alpha = 0,95 - quantil den wert 9,49.
also wird die hypothese nicht verworfen!

meine frage ist eben ob das so passt und außerdem eben die sache mit nw>5 macht mir noch sorgen ;)

[patricasso]

Du musst hier ganz einfach die Klassen zusammenfassen, bis man einen Wert >= 5 erreicht hat!
Das sind in dem Fall die Klassen 3,4,5,6 = 11.402 ... Klarerweise kriegt man dann für H=14 raus. Deshalb sollte man ja auch die Tabelle mit den Zwischenschritten aufzeichnen.

Kl. ............. H .........e=n*w....
0 ............ 16 ...... 13.386
1 ............ 17 ...... 20.082
2 ............. 13 ....... 15.06
3 bis >=6 ... 14 ........ 11.402
--------------------------------

Ansonsten müsst es so passen (hab aber nicht mehr weitergerechnet).

[Sensei]

asoooooo!
hab mir was in die richtung schon gedacht, dachte aber man kann nicht einfach so unterschiedlich große klassen machen. aber ich erinnere mich jetzt dran dass wir das eh auch schon mal gemacht haben!
danke!

[patricasso]

nur der Form halber:
hab vergessen, das sich dadurch natürlich auch die Anzahl der Klassen beim Chi-Quadrat ändern.
Also 4-1-1 = 2 (als FG).