Zeigen das a + b*sqrt(5) ein Integritätsbereich ist..

[Kugelfisch]

Hallo!

Hab das Bsp im PO gefunden und bin mir nicht sicher, wie man das angehen soll.
Ich weiß, dass irgend eine Übungsgruppe so ein ähnliches Bsp hatte.

Wärs möglich die Lösung zu posten?

Hab mir gedacht da Integritätsbereich ja keine Nullteiler haben darf, sprich die von 0 verschiedenen Elemente eine Halbgruppe bilden reicht es zu zeigen, dass das ganze abgeschlossen ist. Ev. noch assoz. wegen der Halbgruppe, aber na ja, is irgendwie wahnsinnig aufwendig, das zu lösen, gerad während einer Prüfung.

Bitte um Hilfe!!


Mfg

K-Fish

[FlatAlex]

versteh ich ueberhaupt nicht
erstmal waers gan praktisch wenn du ein bisschen genauere Angaben geben koenntest, da fehlt ja die Haelfte

dann aehmmm ein Integritaetsbereich ist ein kommutativer Ring mit Einselement, der zusaetzlich nullteilerfrei ist. wahrscheinlich meinst du diese Menge bildet mit der Multiplikation eine halbgruppe? und a und b nehm ich an sind aus Z, weil ich ein aehnliches Beispiel gefunden habe...

also ich weiss nicht obs stimmt, aber ich taets so versuchen: ich nehm zwei Zahlen dieser Form her, (a+b*sqrt(5)) und (c+d*qrt(5)) multipliziere sie miteinander, und setze dann das ergebnis 0 (indirekter Beweis!). Nach anschliessendem Umformen erhalte ich

-sqrt(5) = ac/(ad+cb+bd)

da aber sqrt(5) und damit auch sqrt(5)*(-1) eine irrationale Zahl ist (hmm ich hoffe das stimmt jetzt, hab das nur gegoogled :) [edit: scheint zu stimmen: http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt5.1mil hehe], kann sie wohl kaum durch so einen Bruch dargestellt werden => WIDERSPRUCH


Ich hoffe da ist nicht ein ganz bloeder Denkfehler drin.

achja, abgeschlossen ist es auch, wie man leicht durch Ausmultiplizieren und herausheben von sqrt(5) sieht, Assoziativitaet ist auch nicht so schwer zu zeigen

Alex

[Kugelfisch]

Hast das schon richtig erfasst mit den Angaben, hmja, tschuldigung, hab den ganzen mathespass schon etwas zu satt!!

Hört sich plausibel an, was du da sagst.

Ja, des mit dem Abgeschlossen und assoz. hab ich dann eh auch hinbekommen, aber ich bin mir nie sicher, ob dem Kaiser dieser Beweis dann auch ausreicht.

Hmm, wird bzw. muss schon passn.

DAnke nochmal

mfg

[*_konkreeet_*]

wir werden schon sehen :devil:

find ich gut, dass du dieses beispiel durchgenommen hast ;)

[FlatAlex]

Das Beispiel kam ja zum Test wenn ich das richtig bekommen hab, war mein Beweis nun richtig? Wenn nein, wie ist es sonst zu loesen?

[Rumpl]

Habs nicht vollständig richtig das Bsp. gehabt, aber dass das keinen Körper bildet hast du richtig bewiesen, soweit ich das sehe...

Aber jemand der besser in Mathe ist kanns sichs ruhig nochmal ansehen .-)

[*_konkreeet_*]

wir wissen ja dass bei einem körper auch bezüglich der zweiten OP = * das inverse existieren soll. als "grundmenge" sind ja die ganzen zahlen gegeben.

wenn du jetzt ansetzt (w(5) ist die wurzel aus 5):

a°e=a

=> (a+b*w(5)) * e = (a+b*w(5)) => e = 1 = (1+0*w(5))

und

a°a^-1=e

=> (a+b*w(5)) * (x+y*w(5)) = (1+0*w(5))

wobei (x+y*w(5)) das inverse darstellen soll

dann MÜSSEN x und y somit nicht unbedingt elemente aus der menge der ganzen zahlen sein.

[CornedBee]

also ich weiss nicht obs stimmt, aber ich taets so versuchen: ich nehm zwei Zahlen dieser Form her, (a+b*sqrt(5)) und (c+d*qrt(5)) multipliziere sie miteinander, und setze dann das ergebnis 0 (indirekter Beweis!). Nach anschliessendem Umformen erhalte ich

-sqrt(5) = ac/(ad+cb+bd) Sorry, dass ich den Thread aufweck, aber wie funktioniert diese Umformung?