Karigl-Prüfung 2004-02-03

[rck]

Ich probier mal ungefähr zu rekonstruieren, was gekommen ist. Bitte korrigierts und ergänzts mich, soweit möglich!


1) Beweis durch Induktion, es ist eine Folge rausgekommen die die Werte 1, 1/3, 1/7, 1/15, usw. angekommen hat. Formeln weis ich leider nicht mehr, waren zwei Stück, die gleichwertig waren. War auch ein Übungsbeispiel, soviel ich mich erinnern kann.


2) Taylorreihe entwickeln, Ergebnis war die alternierende Leibnitz-Reihe 1, -1/2, 1/3, -1/4, usw. (oder so ähnlich). Diese Reihe ausrechnen, Ergebnis ln(2). Formeln weis ich hier leider auch nicht mehr. Dürfte ein Übungsbeispiel gewesen sein...


3) Definition Weg, Gerüst, Wurzelbaum, Binärbaum


4) Wie wird der Winkel zwischen zwei Vektoren ausgerechnet? Beweisen Sie die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung mit Hilfe des Skalarprodukts.


So wie's aussieht, ist damit Mathematik für mich abgehakt. Haltet's mir die Daumen! // René

[MarkusL]

1. Gegeben ist die rekursive Definition x(n+1) = xn/(xn+2) mit x1=1, n>=1.
Berechnen Sie diese mit n=1...5. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass xn=1/(2^n-1) mit der rekr. Formel gleich ist.

2. Entwickeln sie die Taylorreihe von f(x) = ln (x+1) im Punkt x0=0. Berechnen sie damit den Grenzwert von der alternierenden harmonischen Reihe.

3. Definieren Sie Baum und Wald mit Hilfe von Wegen. Was ist Wurzelbaum, Gerüst, Binärer Baum, jeweils mit Beispiel.

4. Schreiben sie die Ungleichung von Cauchy-Schwarz an und beweisen Sie diese. Wie ist der Winkel zwischen Vektoren definiert.


Also 1,2,3 waren ja OK, aber 4 ist wirklich schwierig, wenn man den Beweis nicht zufällig auswendig kann.

[MarkusL]

oh, da war einer schneller. Moderator, kannst´ die Threads bitte zusammefügen?

[SvStefan]

Hi!

Meine Ergänzungen, soweit ich mich erinner:


1) Beweis durch Induktion, es ist eine Folge rausgekommen die die Werte 1, 1/3, 1/7, 1/15, usw. angekommen hat. Formeln weis ich leider nicht mehr, waren zwei Stück, die gleichwertig waren. War auch ein Übungsbeispiel, soviel ich mich erinnern kann.

x[n+1] = x[n] / (2 + x[n])
(rekursive Definition)

und:

x[n] = 1 / (x² - 1) (oder so)
war dann zu beweisen.


2) Taylorreihe entwickeln, Ergebnis war die alternierende Leibnitz-Reihe 1, -1/2, 1/3, -1/4, usw. (oder so ähnlich). Diese Reihe ausrechnen, Ergebnis ln(2). Formeln weis ich hier leider auch nicht mehr. Dürfte ein Übungsbeispiel gewesen sein...

f(x) = ln(1 + x) soll in der Entwicklungsstelle x0 = 0 in eine Taylorreihe entwickelt werden.


3) Definition Weg, Gerüst, Wurzelbaum, Binärbaum
Definition Baum, Wald


4) Wie wird der Winkel zwischen zwei Vektoren ausgerechnet? Beweisen Sie die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung mit Hilfe des Skalarprodukts.

Gut, dass ich das Cauchy gespritzt hab.. *gg* Aber das Vektorräume-Kapitel am Schluss vom Skript - da hats mich einfach nicht mehr gefreut.

LG Stefan

[SvStefan]

oh, da war einer schneller. Moderator, kannst´ die Threads bitte zusammefügen?
Ups, da hab ich wohl auch drübergelesen.. *gg*
Stimmt, das 4er fand ich heftig.

LG Stefan

[AmaNoGawa]

das war doch nur der praxisteil oder? was war denn der theorieteil.. oder gabs sowas nicht?

[g3nfox]

beim karigl is der theorie- und praxisteil kombiniert ...

[Unic0der]

Habe mich jetzt mal zwecks Übung an den alten Beispielen versucht. Anbei was dabei herausgekommen ist. ;)

Bei Beispiel 1 verstehe ich allerdings nicht, wie ich die vollständige Induktion machen soll. Wäre sehr dankbar für jeden Tipp, wie ich von der rekursiv definierten Funktion auf die andere normal definierte "induzieren" :p soll. :coolsmile

Beispiel 2 wurde schon in diesem Thread besprochen. -> http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=44909

Bei Fehlern bitte schreien. Und ich bitte um Hilfe bei Beispiel 1. :D

[stardave]

....also:

aus x(n+1) = xn/(xn+2) folgt xn= x(n-1)/(x(n-1)+2) und (nacht 2. Formel) = 1/((2^n)-1)

dann nurnoch in x(n+1) = xn/(xn+2) das "xn" einsetzen ( also 1/((2^n)-1) )
das gibt (1/((2^n)-1) ) / ((1/((2^n)-1)) +2)

wenn man das ausrechnet kommt 1/ ((2^n+1)-1) raus --> QED

hoffe es is klar was ich mein....

[Unic0der]

dann nurnoch in x(n+1) = xn/(xn+2) das "xn" einsetzen ( also 1/((2^n)-1) )
das gibt (1/((2^n)-1) ) / ((1/((2^n)-1)) +2)
wenn man das ausrechnet kommt 1/ ((2^n+1)-1) raus --> QED
hoffe es is klar was ich mein....
Ja, danke. Ist klar. :thumb:

Allerdings: Ich bekomme irgendwie nicht das richtige Ergebnis raus. :( Ich komme auf 1 / ((2^n-1)+1)

[stardave]

nachdem deine Beiträge mir schon geholfen haben, hab ich mir die mühe gemacht meine Lösung sauber aufzuschreiben und abzufotografieren. :)

[Unic0der]

nachdem deine Beiträge mir schon geholfen haben, hab ich mir die mühe gemacht meine Lösung sauber aufzuschreiben und abzufotografieren. :)Super danke! Hat mir sehr geholfen meinen dummen Rechenfehler im Doppelbruch zu finden. :o