Test 29.1.02

[Stella]

Bsp 2)

Eine 1-Euro-Münze wird 4 mal geworfen; X sei die Anzahl der 'Köpfe' unter den ersten 2 Würfen, und Y die Anzahl der 'Köpfe' unter allen 4 Würfen.

(a) Ermitteln Sie die gemeinsame Verteilung von (X,Y).
(b) Ermitteln Sie die Randverteilungen von X und Y. Um welche Verteilung handelt es sich?
(c) Sind X und Y unabhängig?
(d) Berechnen Sie die Kovarianz!

Kann mir jemand erklären, wie man auf die gemeinsame Verteilung kommt (die Werte in der Tabelle) ?? :confused:

Lg Stella

[max_kuffs]

also ich würde sagen es ist eine binominialverteilung.

das erkennst du daran das ein alternativversuch (der kann als ergebnis nur 2 werte annehmen. hier kopf oder zahl) n-mal ausgeführt wird. ich hab grad begonnen zu rechnen. vielleicht ists ein anstoss für dich.

[Stella]

das mit der binominialverteilung hab ich jetzt verstanden, danke!
aber für punkt (a) muss man ja diese tabelle erstellen. nach welchem schema geht man da vor? wie kommt man auf die werte in der tabelle?

[Sensei]

Hmmm... komme da auch nicht so recht weiter.
Prinzipiell sollte die Tabelle doch mal so aussehen, oder?

_x|
y_| 0 _ 1 _ 2
--------------
0 |____0__0
1 |_______0
2 |
3 | 0
4 | 0 _ 0

Das heißt y kann die Werte 0,1,2,3,4 annehmen und x kann die werte 0,1,2 annehmen.
Und wenn X schon 1 war kann Y nicht 0 werden und wenn X schon 2 war kann Y nicht 0 und nicht 1 werden.
So weit so gut. Unten kann man auch schon ein paar 0er eintragen (is eh logisch wenn man sichs überlegt). aber was gehört dazwischen?

[Stella]

So soll die Tabelle laut Musterlösung im PO ausschauen.

_x|
y_| 0 _ 1 _ 2
-----------------------
0 |_1/16 0__ 0
1 |_2/16 2/16 0
2 | 1/16 4/16 1/16
3 | 0 2/16 2/16
4 | 0 _ 0 1/16

[QUOTE]Und wenn X schon 1 war kann Y nicht 0 werden und wenn X schon 2 war kann Y nicht 0 und nicht 1 werden.
[QUOTE]

[Stella]

Aber wie man auf diese Zahlen kommt ist mir schleierhaft.

@Sensei: Könntest du mir das mit den 0-Bereichen nochmal erklären? Warum Kann Y nicht 0 werden, wenn X schon 1 war?

[Sensei]

@stella:
überleg dir das einfach mal durch: du führst 4mal einen alternativversuch durch, d.h. du schaust 4 mal, ob ein kopf vorgekommen ist. X istdie anzahlk von köpfen nach zweimaligem werfen. wenn jetzt nach zweimaligem werfen immer noch kein kopf war, kann nach 4maligem werfen entweder 0,1 oder 2mal ein kopf gewesen sein, allerdings nichtmehr 3 oder 4 mal.
und umgekehrt wenn nach zweimaligem werfen schon zwei köpfe waren kann am ende nicht 0 oder 1 rauskommen.
sehr logisch wenn man sichs überlegt...!

[Stella]

ja, jetzt ists mir auch klar! danke!! :thumb:

bleibt nur mehr die frage nach der berechnung der anderen werte in der tabelle!

[Sensei]

die anderen werte sind auch nicht wirklich schwer:

wenn zB nach 2 würfen 0 und nach 4 würfen 0 sein soll (X=0,Y=0),
dann müssen alle 4 würfe auf 'zahl' gefallensein.
also 1/2*1/2*1/2*1/2 = 1/16

wenn jetzt nach 2 würfen 1 kopf und nach 4 würfen 1 kopf sein soll (X=1,Y=1)
müssen mal die letzten beiden würfe wieder zahl gewesen sein.bei den ersten beiden muss immer der eine zahl, der andere kopf gewesen sein.
also:
1/2*1/2*1/2*1/2 + 1/2*1/2*1/2*1/2 = 2/16
ohne wahrscheinlichkeiten aufgeschrieben, aber mit dem was georfen wird (Z := Zahl, K:= Kopf) wären die möglichen abfolgen dann
KZKK oder
ZKKK
==> 2*1/16 = 2/16

bei vorher 2, nachher 2 wäre es dann wieder nur ZZKK ==> 1*1/16 = 1/16

bei vorher 1 nachher 2 können sowohl vorne als auch hinten 'kopf' und 'zahl' vertauscht werden; es müssen nur bei den ersten beiden würfen 1 'zahl' und bei den letzten beiden würfen 1 'zahl' erreicht werden.
also mögliche wurf-reihenfolgen:
KZKZ
ZKKZ
KZZK
ZKZK
==> 4*1/16 = 4/16

Hoffe es kommt raus wies gemeint ist und du checkst das jetzt!

[Stella]

großes dankeschön!!!! :) habs endlich gecheckt!!