View Full Version : [Frage] Taylorreihenentwicklung
Stehe bei Taylorreihen auf schwachen Beinen und hätte da folgende Frage:
Wenn die zu entwickelnde Funktion unendlich oft differenzierbar ist, wird dann überhaupt noch ein Restglied benötigt?
Konkreter:
Genügt es bei der Taylorreihenentwicklung von e^x zu schreiben:
.............~.....x^k
e^x = SUMME ---- ?
.............k.......k!
Danke im voraus, mfg johnDoe
Das Thema scheint ja allgemein auf großes Interesse zu stoßen....http://hades.gothic.at/iforum/images/smilies/wink.gif
Soweit ich das verstanden habe benötigst du das restglied wenn du nicht bis unendlich aufsummierst.
Dh. du kannst ja nicht unendlich oft zusammenzählen. deshalb machst du einen gewissen fehler. Diesen Fehler kannst du dann mit dem restglied abschätzen.
Bin mir aber nicht sicher, ob ich das richtig verstanden habe.
finyfunny
29-02-2004, 16:28
@ schurli so hab ich das auch verstanden man gleicht mit dem restglied einen fehler aus (das allerdings nicht beim kaiser sondern beim drmota aber die taylorreihe bleibt taylorreihe ...ist so ähnlich wie die tangenten formel f(x) = f(x0) +f'(x0)*(x-x0)+o(x0) da ist das o(x0) auch ein kleiner fehler der ausgebessert wird genauso ist es bei der tailorreihe mit dem restglied beruht ja quasi beides auf dem selben prinzip
lg finyfunny :)
Verstehe, aber müsste dann nicht in der Angabe stehen, bis zu welchem Grad die Taylorreihe entwickelt werden muß? Und vor allem, woher weiß man dann eigentlich wie groß das Theta zu sein hat? Oder muß man die Taylorreihe bis zum n-ten Grad entwickeln und dann einfach 0<= Theta <= 1 angeben. Zum Beispiel:
...............1..........1................1...... .......x^n+1
e^x = 1 + ---*x + ---*x² +...+ ---*x^n + ------- * (e^Theta*x)^(n+1)
...............1!.........2!...............n!..... .......(n+1)!
bzw.
.............n.....x^k.....x^n+1
e^x = SUMME ---- + ------- * (e^Theta*x)^(n+1)
...........k=0.....k!.......(n+1)!
..?
mfg johnDoe
webhornet
01-03-2004, 23:07
wenn du an der stelle x0 = 0 entwickelst (wie in 90% der bsp), dann fällt dir hier das restglied weg und das theta ist unerheblich:
(...) + 0^n+1 / (n+1)! * e^0^n+1
ansonsten kannst du das theta variabel lassen...
so habe ich das zumindest verstanden...
wenn du an der stelle x0 = 0 entwickelst (wie in 90% der bsp), dann fällt dir hier das restglied weg und das theta ist unerheblich:
(...) + 0^n+1 / (n+1)! * e^0^n+1
ansonsten kannst du das theta variabel lassen...
so habe ich das zumindest verstanden...
mhmm...Bist du da sicher?
Da wo du 0 eingesetzt hast, steht doch in der Formel normalerweise x und nicht x0. Beziehungsweise, Theta*x steht doch eigentlich nur für den "Abstand" zu x0, egal ob das jetzt 0 ist oder irgendeine andere Zahl, oder?
Das ganze wird mir immer schleierhafter http://hades.gothic.at/iforum/images/smilies/confused.gif
Trotzdem danke für deine Antwort!
mfg johnDoe
FlatAlex
02-03-2004, 01:18
Also eins vorweg: ich trete nicht am Freitag an, und hab das ganze noch nicht wirklich gelernt, deswegen ist der Post mit Vorsicht zu geniessen. Vielleicht kann er aber trotzdem ein wenig zum Verstaendnis betragen.
Ich denke es ist folgendermaßen:
Bricht man eine Taylorreihe nach dem n-ten Glied ab, so erhaelt man ein sogenanntes Taylorpolynom n-ter Ordnung (s. 96). Weil bei einem Abbruch unendlich viele Glieder "verworfen" werden, entsteht eine gewisse Ungenauigkeit, die im Restglied zusammengefasst wird. Das Restglied kann man in den seltensten Faellen genau berechnen, man kann es allerdings abschaetzen. Es verliert ausserdem natuerlich seine Bedeutung, wenn man die Reihenglieder von 0 bis unendlich summiert.
Je hoeher die Ordnung des Taylorpolynoms, desto genauer ist aber der Wert der Funktion angenaehert, und desto kleiner ist die Ungenaugikeit, das Restglied. Ersetzen wir eine Funktion durch ein Taylorpolynom erster Ordnung, dann nennt man das Linearisieren.
Wegen obiger Verwirrung bezueglich x_0 = 0 will ich darauf hinweisen, dass in so einem Fall die Taylorreihe in die Mac Laurinsche Reihe uebergeht, naemlich in: Summe von 0 bis unendlich ueber (f^n(0)/n!)*x^n
Die Mac Laurinsche Reihe ist also einfach ein Sonderfall der Taylorreihe, naemlich fuer die Entwicklungsstelle x_0=0
Was hornet oben beschrieben hat ist der Fall x=x_0, dann faellt natuerlich das Restglied weg, weil das Produkt immer 0 wird. In diesem wohl eher seltenen Fall ist das Naeherungspolynom gleich f(0), weil wie gesagt alle anderen Glieder wegfallen.
Wir brauchen das Restglied in der Praxis vor allem zu Fehlerabschaetzung. Dabei setzen wir fuer eine der Restglied-Formeln theta=0 und anschliessend theta=1, und wissen dann, dass der Wert des Restgliedes dazwischen liegen muss.
Das ist die ganze Hexerei!
Gruesse,
Alex
Alles klar, jetzt ist schon vieles klarer. Danke für diese ausführliche Antwort!
Eines noch: Habe ich das jetzt richtig verstanden, dass bei unendlich oft differenzierbaren Funktionen, deren Restglied den Grenzwert 0 hat, die Reihe als Summe n bis unendlich angeschrieben und das Restglied weggelassen wird?
Ich weiß, es ist lästig, aber das ist eine Prüfungsfrage, die glaub ich, vielen nicht ganz klar ist. Im PO ist nämlich als Theorie(!)frage zu finden: Geben Sie die Taylorreihenentwicklungen von e^x und 1/(1-x) an. Dass da nicht lang herumgerechnet soll, ist klar. Das müsste ja eine kurze, klare Antwort sein, die man wissen sollte (die jeder Informatiker außer mir im Schlaf weiß ;)).
Also mein Ansatz dazu lautet: e^x = Summe n=0 bis ~ x^n/k! (wie oben ausführlich notiert) und
...1..........~.....2*3^n-2
----- = SUMME ---------*x^n , für |x|<1
(1-X) .....k=0.........n!
Die Frage ist nur, ob das so richtig ist!?
mfg johnDoe
FlatAlex
03-03-2004, 15:40
hmm also die Funktion die du in eine Potenzreihe entwickeln willst, *muss* in der Umgebung der Entwicklungsstelle beliebig oft (also "unendlich" oft) differenzierbar sein. Wenn du also so eine unendliche Reihe angibst, gibts kein Restglied, das Restglied entsteht eben durch Weglassen von Summengliedern.
Da du nichts anderes angegeben hast, nehme ich an man soll um x_0 = 0 entwickeln, d.h. man kann in die Mac Laurinsche Reihe einsetzen, und erhaelt folgende Loesungen (die schreib ich jetzt aus nem Buch ab):
e^x = Summe von n=0 bis unendlich ueber x^n / n!
konvergiert fuer alle x aus R
1/(1-x) = (1-x)^(-1) = Summe von n=0 bis unendlich ueber x^n (geometrische Reihe)
hat den Konvergenzradius 1, konvergiert also fuer alle |x|<1
Alex
P.S.: ich hab da einen netten Thread gefunden, fuer Details schau hier rein:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=6209
Ok, jetzt ist alles klar! Thx, mfg johnDoe
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