Integrieren (Bsp für Matheprüfung )

[Variable]

Hallo !
Kann jemand zufällig das Bsp:

Int(e^x * Sinx) dx

also Integral von e hoch x Sinx nach dx

ich kenn zwar die Lösung ....nach Mathematica is die nähmlich

1/2 *e^x(-Cos[x] + Sin[x])

weis jemand wie man genau auf die Lösung kommt ?

mfG
Chris

[Dieli]

Hi!

Geht mit 2 mal partiell Integrieren. Also: Int(f'*g)=f*g-Int(f*g')
e^x=f'=> f=e^x
sin x = g => g'=cos x
e^x*sin x - Int(e^x*cos x)

Int(e^x*cos x):
e^x=f' => f=e^x
cos x = g => g' = -sin x
Int(e^x*cos x)=e^x*cos x + Int(e^x*sin x)

Int(e^x*sin x)=e^x*sin x - e^x*cos x - Int(e^x*sin x)
Int(e^x*sin x)=1/2*e^x*(sin x - cos x)

Hoffe das ist verständlich.

mfg Dieli

[Spiderman]

1.mal partiell integrieren
Int(e^x*sinx dx) = e^x*sinx - int(e^x*cosx dx)

2.mal partiell integrieren
Int(e^x*sinx dx) = e^x*sinx - (e^x*cosx - int(-e^x*sinx dx) )

Umformen
Int(e^x*sinx dx) = e^x*sinx - e^x*cosx - int(e^x*sinx dx)

Jetzt sieht man, dass sowohl auf der linken Seite als auch auf der rechten Seite
der Ausdruck int(e^x*sinx dx) vorkommt.
dh.: man addiert auf beiden Seiten int(e^x*sinx dx) ( man bringt sozusagen int(e^x*sinx dx) auf die linke Seite und man erhält dann:


2*(int(e^x*sinx dx)) = e^x*sinx - e^x*cosx

Anschließend dividiert man durch 2 und erhält das Ergebnis:

int(e^x*sinx dx) = 1/2* ( e^x*sinx - e^x*cosx )

Alles klar?

[Variable]

1.mal partiell integrieren
Int(e^x*sinx dx) = e^x*sinx - int(e^x*cosx dx)

2.mal partiell integrieren
Int(e^x*sinx dx) = e^x*sinx - (e^x*cosx - int(-e^x*sinx dx) )

Umformen
Int(e^x*sinx dx) = e^x*sinx - e^x*cosx - int(e^x*sinx dx)

Jetzt sieht man, dass sowohl auf der linken Seite als auch auf der rechten Seite
der Ausdruck int(e^x*sinx dx) vorkommt.
dh.: man addiert auf beiden Seiten int(e^x*sinx dx) ( man bringt sozusagen int(e^x*sinx dx) auf die linke Seite und man erhält dann:


2*(int(e^x*sinx dx)) = e^x*sinx - e^x*cosx

Anschließend dividiert man durch 2 und erhält das Ergebnis:

int(e^x*sinx dx) = 1/2* ( e^x*sinx - e^x*cosx )

Alles klar?

Jawohl ! Danke sehr ! :)
Ich nehm an den Trick mit "auf eine Seite" bringen kann man dann überall verwenden wo man das Produkt von 2 unendlich oft int (diff) baren Funktionen berechnen muss ?
thx nochmal

[Dieli]

Jawohl ! Danke sehr ! :)
Ich nehm an den Trick mit "auf eine Seite" bringen kann man dann überall verwenden wo man das Produkt von 2 unendlich oft int (diff) baren Funktionen berechnen muss ?
thx nochmal
Genau. Dadurch, das du 2 mal partiell integrierst, kommst du wieder auf dein Ausgangsintegral (nur musst beides mal für f' und g die gleiche Funktion nehmen).

mfg Dieli