Vorzeichen bei Permutationen

[rck]

Im Karigl-Skriptum steht, dass es gerade Permutationen und ungerade Permutationen gibt. Beispielsweise wäre (12)(13) gerade und (12)(13)(14) ungerade, weil es 2 (=gerade) respektive 3 (=ungerade) Vertauschungen gibt.

So weit, so klar. Was ich im Skriptum aber nicht gefunden habe: Was genau ist da jetzt bitte das Vorzeichen? Intuitiv würde ich annehmen, dass gerade Permutationen positiv und ungerade negativ sind. Stimmt das? // René

[reddi]

hi, ob eine permutation gerade ist oder ungerade ist, hängt von der anzahl der fehlstände ab!

ein fehlstand ist folgendes:

x > y
f(x) < f(y)

die permutation ist gerade, wenn die anzahl der fehlstände gerade ist und ungerade wenn die anzahl der fehlstände ungerade ist!

am besten sieht man das in der zyklendarstellung!

gerade anzahl von el. im zyklus --> vorzeichen: -1
ungerade anzahl.... > +1

du kannst die vorzeichen multipliziern, siehe die tabelle:


+ (xxx) --> (+1)
- (xx) --> (-1)
+ (xx)(xx) (-1)*(-1)
- (xxxx) --> (-1)

[daff]

Baron et al sagt auch, dass eine Permutation dann gerade ist, und das Vorzeichen +1 (sgn(p)+=1) bekommt, wenn die Anzahl der Transpositionen, durch die sich die Permutation p darstellen lässt, gerade ist. Ditto für ungerade (sgn(r)=-1, mit r ungerade Permutation).

Nebenbei: Auch steht da, dass das Produkt zweier gerader Permutationen, bzw zweier ungerader Permutationen, wieder gerade ist. Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Permutation dagegen ist ungerade.

Aber wie erkenne ich jetzt, ob folgende Permutation (in Zyklenschreibweise) gerade oder ungerade ist, ohne das ganze in ein Produkt von Transpositionen zu überführen?

p = (1 7)(2 9 3 4)(6 8 10)

Betrachtet man da jeden Zyklus als (in diesem Fall gerade) eigene Permutation und wendet damit die Regelung an, die oben unter "Nebenbei:" steht? Daraus würde sich ergeben, dass sgn(p)=+1 ist, denn das Produkt m=(1 7)*(2 9 3 4) ist gerade, und n=(6 8 10) ist auch gerade, damit wird das Produkt m*n auch wieder gerade, oder nicht?

:ahhh: