Beispiel 11.1

[KoKo]

Hi leute....ich weiss es ist einbissl früh für die Statistikübungen was zu machen (*schäm*) aber....mein New years Resolution war ein paar Tage vor der Übung schon anzufangen =)

Falls Ihr schon was habt, wäre das toll wenn es hier gepostet wird...

guten rutsch,

lg KoKo

[Sebi]

also einen anfang habe ich, leider hänge ich irgendwo... :(
Zuerst zeige ich den empirischen Verschiebungssatz:
(Xi.... die Xi der Stichprobe
Xn ..... das Stichprobenmittel, also Xn-quer
und sum ... immer die summe i=1... n)

sum[(Xi-Xn)^2] = sum[Xi^2-2XiXn+Xn^2] = (/* jetzt ersetze ich im mittleren Ausdruck Xn durch 1/n*sum(Xi), also die Def. von Xn); außerdem ziehe ich die summe vor jeden ausdruck */ ) =
sum[Xi^2]-sum[(2/n)Xi*sum(Xi)]+sum[Xn^2] =
(/* das sum(Xi) in der summe ist nicht von i der äußeren Sume abhängig (mittlerer ausdruck), d.h. ich ziehe es wie eine Konstante vor die Summe, außerdem ist Xn^2 auch nicht von i abhängig, d.h. statt sum(Xn^2) sage ich n*Xn^2) */) =
sum[Xi^2]-(2/n)*sum[Xi]*sum[Xi]+n*Xn^2=
(/* jetzt erweitere ich den Bruch im mittleren Ausrcuk um n, fasse zusammen und bin fertig... */)

sum[Xi^2]-2n*(1/n^2)*(sum[Xi])^2+Xn^2=
(/* weil ja (1/n^2)*(sum[Xi])^2 nichts anderes ist als Xn^2 */) =
sum[Xi^2] -n *Xn^2

Und jetzt sollte es eigentlich realtiv einfach sein hab ich gedacht....
E... Erwartungswert
Sn^2... stichprobenvarianz

E[Sn^2]=E[(1/n-1)*(sum[Xi^2]-n*Xn^2)]=Var X (wobei halt letzteres zu zeigen ist...

= 1/(n-1) * (sum[EXi^2]-n*EXn^2) = /* linearität des erwartungswertes, oder? */
= 1/(n-1)*(n*E(Xi^2)-n*E(1/n^2)*(sum[Xi])^2) /* weil ja EXi eine Zahl ist kann ich die summe weggeben, und für Xn setzt ich wieder die Def. ein */
=n/(n-1)*(E(Xi)^2-1/(n^2) *E(sum[Xi])^2)

tja... ich würde ganz gerne auf E(Xi^2)-(EXi)^2 kommen, weil = Var X...
aber selbst wenn ich sage ich ziehe das E jetzt in die zweite summe und damit in das quarat hinein (wo ich nicht sicher bin ob ich das darf...), dann kürzt sich das 1/n^2 weg, und ich habe n/(n-1) * VarX ....

gedanke ganz falsch, irgendwo ein fehler im rechengang? ?

sebi
[edit:]
PS:
buch S 129,
Folien nach Satz 27.2

[Tom]

@sebi:

war jetzt zu faul mir anzuschaun, wie du das genau gerechnet hast, aber es schaut soweit ganz richtig aus.

also die rechnung, um das mit dem empirischen verschiebungssatz umzuformen, stimmt sicher mal.

also haben wir: (wenn ich hier SUM schreib, mein ich natürlich immer summe von i=1 bis n)

Angabe: Sn^2 = 1/(n-1) * SUM(Xi-Xn)^2 => ... (siehe sebis rechnung) => Sn^2 = 1/(n-1)*[SUM(Xi^2)-n*Xn^2]

davon nun den erwartungswert bilden:

ESn^2 = E[1/(n-1)*[SUM(Xi^2)-n*Xn^2]]

das jetzt ein bissi umformen (zuerst das (n-1) auf die linke seite bringen), so ähnlich, wie's der sebi schon gemacht hat, dann kommt man irgendwann auf:

(n-1)/n * ESn^2 = E(Xi^2)-E(Xn^2)

so, soweit warn wir schon. jetzt is der trick, das EXi^2 und EXn^2 anders auszudrücken:

da Var Xi = E(Xi^2) - (EXi)^2 => simple umformung: E(Xi^2) = Var Xi + (EXi)^2

und da alle Xi gleich verteilt sind und daher gleichen mittelwert und varianz haben, nun statt Var Xi = sigma^2 und statt EXi = mü schreiben:

=> E(Xi^2) = sigma^2 + mü^2

analog geht man bei E(Xn^2) = Var Xn + (EXn)^2 vor, wobei man Xn durch 1/n*SUM(Xi) ersetzt

nach bissi mehr umformen als vorher, kommt man dann auf:

E(Xn^2) = 1/n * sigma^2 + mü^2

daher haben wir insgesamt nun:

(n-1)/n * ESn^2 = E(Xi^2)-E(Xn^2)
=
(n-1)/n * ESn^2 = (sigma^2 + mü^2) - (1/n * sigma^2 + mü^2)

die letzte zeile noch schnell umformen (kürzen und sigma^2 herausheben) und man hat

ESn^2 = sigma^2

was ja zu zeigen war.

dann noch viel spaß mit dem ergebnis,
thomas

PS: natürlich bin ich da NICHT selber draufgekommen, hab mir dafür fünf verschiedene beweise im netz angeschaut und es nach etlichen stunden mal kapiert.

[Sebi]

hmmm, stimmt, wenn man nicht so verbissen versucht auf E(X^2)-(EX)^2 zu kommen sondern die Varianz schon vorher reinbringt gehts sichs aus.

sollte trotzdem jemand den fehler in meiner rechnung finden wär ich dankbar..
ich hab das jetzt ein bisschen anders gemacht:

ich habe:
n/(n-1) * (E(Xi^2)-E(Xn^2))

Xn .... ist ja eigentlich nichts anderes als EXi (lässt sich leicht zeigen, bzw. siehe buch/folien (satz 27.2), ... )

also habe ich n/(n-1) * (E(Xi^2)-E(EXi)^2)

Erwartungswert einer Zahl (erwartungswert ist eine zahl => auch das ² ist eine zahl) ist die zahl selber ..

= n/(n-1) * (E(Xi^2)-(EXi)^2)

das was in der zweiten Klammer steht ist somit Var Xi= Var X ....
naja, nur steht noch ein n/(n-1) davor, d.h. da hats was... nur wo?
wäre für ideen sehr dankbar ;)

lg
sebi

[Tiniiiii]

... nach bissi mehr umformen als vorher, kommt man dann auf:
E(Xn^2) = 1/n * sigma^2 + mü^2
Hilfe! Bei mir kommt, nach dem 3. Nachrechnen immer noch
E(Xn^2) = sigma^2 + 1/n * mü^2
raus ...

Bist Du sicher dass das stimmt? bzw. Kannst Du Deinen Rechenweg posten?

lg :ausheck:

[Tom]

Bist Du sicher dass das stimmt? bzw. Kannst Du Deinen Rechenweg posten?

ja, bin mir eigentlich sicher.

schau mal nach unter http://www.spelman.edu/~anderson/teaching/437/unbiased/node6.html
(weiter unten)

[Tiniiiii]

Sehr cool, danke! :ausheck:

[Sensei]

sum[Xi]-2n*(1/n^2)*(sum[Xi])^2+Xn^2=
(/* weil ja (1/n^2)*(sum[Xi])^2 nichts anderes ist als Xn^2 */) =
dieser schritt (sebi) is mir nicht ganz klar... ist da eine 2 zuviel in der ersten zeile? oder ein n zu wenig? oder denk ichs mir zu blöd und es kann vielleicht jemand langsam erklären...?!

[Sebi]

sum[Xi^2]-(2/n)*sum[Xi]*sum[Xi]+n*Xn^2=

sum[Xi^2]-2n*(1/n^2)*(sum[Xi])^2+Xn^2=

sum[Xi^2] -n *Xn^2

hab das Quadrat vergessen abzuschreiben....
(wenn du das meinst)

danke fürf den hinweis

sebi

[the_unclean]

mhmm was ich nicht versteh:
wo bleibt das n in sum[Xi^2]-(2/n)*sum[Xi]*sum[Xi]+n*Xn^2=
im weiteren schritt zu

sum[Xi^2]-2n*(1/n^2)*(sum[Xi])^2+Xn^2=

??
Thx
maz

[Sensei]

nein, habe hier gemeint:

sum[Xi^2]-2n*(1/n^2)*(sum[Xi])^2+nXn^2=

fehlt dir nicht das fette n?!

[Sensei]

Quote:
Originally Posted by Tom
... nach bissi mehr umformen als vorher, kommt man dann auf:
E(Xn^2) = 1/n * sigma^2 + mü^2
Hänge auch bei diesem Schritt...
Kann das wer schön aufschreiben, wie da die Umformung geht, damit man darauf kommt?! thx

[Sebi]

jetzt werdens aber langsam viele fehler...

tut mir leid, hab auch das n einfach vergessen in der Zeile ...

zu der Umformung:
also ich hab das so gemacht:
Var(Xn)=E(Xn)^2- (EXn)^2

E(Xn)^2=Var(Xn)+(EXn)^2

überall Xn durch 1/n * Sum(Xi) ersetzen...
E(Xn)^2=Var(1/n*Sum(Xi))+(E(1/n*Sum(Xi)))^2

umformen (Rechenregeln für E und die Varianz):
E(Xn)^2=1/n²*Sum(Var Xi)+1/n²*(E(Sum(Xi)))^2

jetzt die Summe bei der Varianz auflösen (da Var Xi eine Zahl ist) und das E vor das Xi ziehen:
E(Xn)^2=1/n²*n*VarXi + 1/n²*(Sum(EXi))^2

wie vorher bei der varianz jetzt beim Erwartungswert und der Summe:
E(Xn)^2=1/n* Var Xi + 1/n² * (n*EXi)^2

E(Xn)^2=1/n* Var Xi + 1/n²*n²*(EXi)^2

hoffe diesmal ohne fehler...

sebi

[Sensei]

hoffe diesmal ohne fehler... fast... (denk ich):

da gehört überall ein + hin meiner meinung nach!

[Sebi]

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuups

[Unic0der]

@sebi: Könntest bitte alles noch mal in einem Post zusammenkopieren. Irgendwie verliert man in dem Thread schon leicht den Überblick. ;)

thx, mac :coolsmile

[Sebi]

ich dachte du bist hier der mod ;)

also zuerst wird dieser verschiebungssatz gezeigt:
(Xi.... die Xi der Stichprobe
Xn ..... das Stichprobenmittel, also Xn-quer
und sum ... immer die summe i=1... n)

sum[(Xi-Xn)^2] = sum[Xi^2-2XiXn+Xn^2] = (/* jetzt ersetze ich im mittleren Ausdruck Xn durch 1/n*sum(Xi), also die Def. von Xn); außerdem ziehe ich die summe vor jeden ausdruck */ ) =
sum[Xi^2]-sum[(2/n)Xi*sum(Xi)]+sum[Xn^2] =
(/* das sum(Xi) in der summe ist nicht von i der äußeren Sume abhängig (mittlerer ausdruck), d.h. ich ziehe es wie eine Konstante vor die Summe, außerdem ist Xn^2 auch nicht von i abhängig, d.h. statt sum(Xn^2) sage ich n*Xn^2) */) =
sum[Xi^2]-(2/n)*sum[Xi]*sum[Xi]+n*Xn^2=
(/* jetzt erweitere ich den Bruch im mittleren Ausrcuk um n, fasse zusammen und bin fertig... */)

sum[Xi^2]-2n*(1/n^2)*(sum[Xi])^2+n*Xn^2=
(/* weil ja (1/n^2)*(sum[Xi])^2 nichts anderes ist als Xn^2 */) =
sum[Xi^2] -n *Xn^2

dann kommt der Lösungsweg von Tom, um von diesem Ausdruck auf die Varianz zu schließen.
(ich hoffe er verklagt mich nicht wegen irgendwelchen rechten):

davon nun den erwartungswert bilden:

ESn^2 = E[1/(n-1)*[SUM(Xi^2)-n*Xn^2]]

das jetzt ein bissi umformen (zuerst das (n-1) auf die linke seite bringen), so ähnlich, wie's der sebi schon gemacht hat, dann kommt man irgendwann auf:

(n-1)/n * ESn^2 = E(Xi^2)-E(Xn^2)

so, soweit warn wir schon. jetzt is der trick, das EXi^2 und EXn^2 anders auszudrücken:

da Var Xi = E(Xi^2) - (EXi)^2 => simple umformung: E(Xi^2) = Var Xi + (EXi)^2

und da alle Xi gleich verteilt sind und daher gleichen mittelwert und varianz haben, nun statt Var Xi = sigma^2 und statt EXi = mü schreiben:

=> E(Xi^2) = sigma^2 + mü^2

analog geht man bei E(Xn^2) = Var Xn + (EXn)^2 vor, wobei man Xn durch 1/n*SUM(Xi) ersetzt

nach bissi mehr umformen als vorher, kommt man dann auf:

E(Xn^2) = 1/n * sigma^2 + mü^2

daher haben wir insgesamt nun:

(n-1)/n * ESn^2 = E(Xi^2)-E(Xn^2)
=
(n-1)/n * ESn^2 = (sigma^2 + mü^2) - (1/n * sigma^2 + mü^2)

die letzte zeile noch schnell umformen (kürzen und sigma^2 herausheben) und man hat

ESn^2 = sigma^2

was ja zu zeigen war.

dabei gab es eben Probleme mit der einen Umformung ("nach ein bissi mehr umformen als vorher"), und die gibt es hier:
Var(Xn)=E(Xn)^2- (EXn)^2

E(Xn)^2=Var(Xn)+(EXn)^2

überall Xn durch 1/n * Sum(Xi) ersetzen...
E(Xn)^2=Var(1/n*Sum(Xi))+(E(1/n*Sum(Xi)))^2

umformen (Rechenregeln für E und die Varianz):
E(Xn)^2=1/n²*Sum(Var Xi)+1/n²*(E(Sum(Xi)))^2

jetzt die Summe bei der Varianz auflösen (da Var Xi eine Zahl ist) und das E vor das Xi ziehen:
E(Xn)^2=1/n²*n*VarXi + 1/n²*(Sum(EXi))^2

wie vorher bei der varianz jetzt beim Erwartungswert und der Summe:
E(Xn)^2=1/n* Var Xi + 1/n² * (n*EXi)^2

E(Xn)^2=1/n* Var Xi + 1/n²*n²*(EXi)^2

was immer daran so schwer zu finden war (hab natürlich alle meine fehler in meinen postings brav korrigiert.... also wer jetzt die Orginalposts liest sollte es nicht so schwer haben)

(und wozu hast du jetzt mich gebraucht?)
;)

[Unic0der]

ich dachte du bist hier der mod http://hades.gothic.at/iforum/images/smilies/wink.gif
Was nicht heißt dass ich alles hier verstehe *g*. Thx auf jeden Fall - werds mir jetzt mal durchschauen und euch dann evtl. noch mit Fragen quälen :devil: .

[hajaj]

sum[(Xi-Xn)^2] = sum[Xi^2-2XiXn+Xn^2] = (/* jetzt ersetze ich im mittleren Ausdruck Xn durch 1/n*sum(Xi), also die Def. von Xn);
Wie kommt du denn ganz am Anfang auf dieses sum[(Xi-Xn)^2] ?

[Sebi]

aus der angabe...
da das 1/(n-1) sich nicht ändert hab ich das während des beweises weggelassen....

[-MM-]

ESn^2 = E[1/(n-1)*[SUM(Xi^2)-n*Xn^2]]

das jetzt ein bissi umformen (zuerst das (n-1) auf die linke seite bringen), so ähnlich, wie's der sebi schon gemacht hat, dann kommt man irgendwann auf:

(n-1)/n * ESn^2 = E(Xi^2)-E(Xn^2) wie bringt ihr das n rüber
als von rechts MAL N, dass es links DURCH N ist
da ja das n nur beim Xn^2 steht und nicht so einfach rüber gezogen werden kann

[lEn00x]

ich denke, dass das so aussehen muss:
(n-1)/n * ESn^2 = E[(1/n)*Xi^2]-E(Xn^2)

Dann passt der rechenweg etwas weiter unten auch wieder...

[hajaj]

sum[Xi^2]-2n*(1/n^2)*(sum[Xi])^2+Xn^2=
(/* weil ja (1/n^2)*(sum[Xi])^2 nichts anderes ist als Xn^2 */) =
sum[Xi^2] -n *Xn^2 Wieso fällt denn da der 2er (der vom -2n*) vom oberen Ausdruck plötzlich unter den Tisch? :confused:

ESn^2 = E[1/(n-1)*[SUM(Xi^2)-n*Xn^2]]
das jetzt ein bissi umformen (zuerst das (n-1) auf die linke seite bringen), so ähnlich, wie's der sebi schon gemacht hat, dann kommt man irgendwann auf:
(n-1)/n * ESn^2 = E(Xi^2)-E(Xn^2) Und das kapier ich auch noch immer nicht. Wieso fällt da die Summer weg und wie funktioniert der Rest dieser Umformung.

da Var Xi = E(Xi^2) - (EXi)^2Wie kommt man auf diese Varianz?

Bitte helfts mir :( . Sind eh meine letzten Fragen, versprochen :) . Den Rest verstehe ich ja zum Glück. Als Belohnung gibts nen fetten Reputation Point (Bestechung :D ).

[Sebi]

Wieso fällt denn da der 2er (der vom -2n*) vom oberen Ausdruck plötzlich unter den Tisch? :confused:

weil 1/n*sum(xi) = Xn
d.h. ich habe etwas in der Form -2n * rest + n* Rest ...

geh mist, jetzt reichts, da fehlt schon wieder ein n...
(heißt natürlich+ n*Xn )


Wie kommt man auf diese Varianz?


verschiebungssatz .... ist so definiert (die varianz)

[Unic0der]

Ich habe auch noch Schwierigkeiten mit zwei Umformungen ;) ...

Erstens mit der hier:

ESn^2 = E[1/(n-1)*[SUM(Xi^2)-n*Xn^2]]
das jetzt ein bissi umformen (zuerst das (n-1) auf die linke seite bringen), so ähnlich, wie's der sebi schon gemacht hat, dann kommt man irgendwann auf:
(n-1)/n * ESn^2 = E(Xi^2)-E(Xn^2)


Und zweitens mit der hier (was mir sehr peinlich ist :shinner: ):

(n-1)/n * ESn^2 = (sigma^2 + mü^2) - (1/n * sigma^2 + mü^2)
die letzte zeile noch schnell umformen (kürzen und sigma^2 herausheben) und man hat
ESn^2 = sigma^2


Also helft's bitte dem mac :coolsmile

[Tubul]

Ich habe auch noch Schwierigkeiten mit zwei Umformungen ;) ...
zum zweiten:

(n-1)/n * ESn^2 = (sigma^2 + mü^2) - (1/n * sigma^2 + mü^2)
= sigma^2 + mü^2 - (1/n * sigma^2) - mü^2
= sigma^2 - (1/n * sigma^2)
= sigma^2 * (1 - 1/n)
(n-1) * ESn^2 = sigma^2 * (n - 1)
ESn^2 = sigma^2

endlich mal eine stelle wo ich auch was einbringen kann;)

zum ersten wär wirklich nett wenn mal wer erklären würd wie man von
sum(E(Xi)) auf n*E(Xi) kommt..:confused:
aaah..sind die E(Xi) vielleicht alle gleich?:)

[Shine]

ok bis zu dem hier ist ja noch alles im grünen bereich, aber dann kapier ich nicht mehr alles

davon nun den erwartungswert bilden:
ESn^2 = E[1/(n-1)*[SUM(Xi^2)-n*Xn^2]]

so nun das umformen, ok das n-1 rüber is ja kein problem, dann haben wir:
(n-1) * ESn^2 = E(sum(Xi^2)) - E(n*Xn^2)

ok dann ist Xn ja das Stichprobenmittel und ich denke sagen zu können, dass es eine Zahl ist, womit ich sagen kann
E(n*Xn^2) = n*Xn^2

so aber wie bring ich diese Summe nun weg??
naja mal erster schritt erwartungswert der summe ist summe der erwartungswerte:
E(sum(Xi^2)) = sum(E(Xi^2))
naja aber damit ist die summe ja net weg

darf man hier jetzt etwa sagen, da ja mein schätzwert für den Erwartungswert der Xi gleich Xn ist:
sum(E(Xi^2)) = sum (Xn^2)
da das wiederum von i net abhängt
= n* Xn^2
damit hätten wir

(n-1) ESn^2 = n* Xn^2 - n* Xn^2

hm naja das wäre 0 kling nicht gut, also irgendwie pack ich das nicht mit dem umformen

naja und das folgende ist mir auch nicht klar, wieso setzt man für var xi und E xi andere namen ein?


und da alle Xi gleich verteilt sind und daher gleichen mittelwert und varianz haben, nun statt Var Xi = sigma^2 und statt EXi = mü schreiben:

=> E(Xi^2) = sigma^2 + mü^2

also bitte wär nett wenn jemand mir meinen denkfehler sagen könnt bzw. genau diese umformungen posten, weil die sind irgendwie kompliziert

mfg Shine

[Tubul]

E(sum(Xi^2)) = sum(E(Xi^2))
naja aber damit ist die summe ja net weg

darf man hier jetzt etwa sagen, da ja mein schätzwert für den Erwartungswert der Xi gleich Xn ist:
sum(E(Xi^2)) = sum (Xn^2)
da das wiederum von i net abhängt
= n* Xn^2
Hab nachgelesen und oben steht wo dass die erwartungswerte der Xi alle gleich sind.. dann müssen auch die erwartungswerte der Xi^2 alle gleich sein..oder?:shinner: *g*
damit kömma auch statt sum(E(Xi^2)) stattdessen n*E(Xi^2) schreiben..
glaub ich;)

PS: Betonung auf i statt n :)

[hajaj]

ESn^2 = E[1/(n-1)*[SUM(Xi^2)-n*Xn^2]]
das jetzt ein bissi umformen (zuerst das (n-1) auf die linke seite bringen), so ähnlich, wie's der sebi schon gemacht hat, dann kommt man irgendwann auf:
(n-1)/n * ESn^2 = E(Xi^2)-E(Xn^2) Ist echt niemand da der diese Umformung erklären kann?

[Tubul]

Ist echt niemand da der diese Umformung erklären kann?darüber wird eh grad geschrieben..schau mal auf
http://www.spelman.edu/~anderson/teaching/437/unbiased/node6.html
da is das eh alles vorgerechnet..
bis auf die frage die sich nacher noch gestellt hat.. wie man von Sum(E(Xi^2)) auf n*E(Xi^2) kommt..das hat der einfach gemacht.. macht aber zB sinn falls alle E(Xi^2) ident sind..(siehe vorherige posts)

[Shine]

bis auf die frage die sich nacher noch gestellt hat.. wie man von Sum(E(Xi^2)) auf n*E(Xi^2) kommt..das hat der einfach gemacht.. macht aber zB sinn falls alle E(Xi^2) ident sind..(siehe vorherige posts)ma muss nur aufpassen dass mas net mit uniform verteilt verwechselt.., weil gleich verteilt und so..
also i denk es wär ja unlogisch, wenn man stichproben nimmt, bei denen man davon ausgeht, dass die einzelnen werte nicht nach der selben verteilungsfunktion verteilt sind...
also die Xi seien alle nach Wtheta verteilt, aber eben alle gleich. i denk das is die begründung

mfg Shine

[Unic0der]

So, mir ist jetzt beim nochmaligen durchdenken aufgefallen, dass ich noch einen einzigen Schritt noch nicht ganz verstehe:

E(Xn)^2=Var(1/n*Sum(Xi))+(E(1/n*Sum(Xi)))^2
umformen (Rechenregeln für E und die Varianz):
E(Xn)^2=1/n²*Sum(Var Xi)+1/n²*(E(Sum(Xi)))^2 Ich hoffe es hat noch wer Zeit und Lust ihn mir zu erklären :) ...

[Unic0der]

http://www.spelman.edu/~anderson/teaching/437/unbiased/node6.html

Naja, so 100%ig das selbe wie bei unsrem Beispiel ist das nicht. z.B. haben wir statt X² n*Xn²

Bin übrigens grad auf einen Fehler bei mir draufgekommen. Damit krieg ich jetzt aber auch nicht mehr (n-1)/n * ESn^2 = E(Xi^2)-E(Xn^2) als Ergebnis raus :( .

Bitte kann sich wer die Arbeit antun und die Zwischenschritte hier posten?

ESn^2 = E[1/(n-1)*[SUM(Xi^2)-n*Xn^2]]
das jetzt ein bissi umformen (zuerst das (n-1) auf die linke seite bringen), so ähnlich, wie's der sebi schon gemacht hat, dann kommt man irgendwann auf:
(n-1)/n * ESn^2 = E(Xi^2)-E(Xn^2)
thx, mac

[Shine]

Naja, so 100%ig das selbe wie bei unsrem Beispiel ist das nicht. z.B. haben wir statt X² n*Xn²

Bin übrigens grad auf einen Fehler bei mir draufgekommen. Damit krieg ich jetzt aber auch nicht mehr (n-1)/n * ESn^2 = E(Xi^2)-E(Xn^2) als Ergebnis raus :( .

Bitte kann sich wer die Arbeit antun und die Zwischenschritte hier posten?


thx, mac
ok ich versuch's mal schritt für schritt

ESn^2 = E(1/(n-1)(sum(Xi^2) - n * Xn^2))
wegen der linearität darf i das 1/(n-1) mal vorziehen

= 1/(n-1) * E(sum(Xi^2) - n* Xn^2)
dann ist der erwartungswert einer summe, die summe der erwartungswerte:

= 1/(n-1) * (E(sum(Xi^2)) - E(n*Xn^2) )
= 1/(n-1) * (sum(E(Xi^2)) - n*E(Xn^2) )
nun ist also der erwartungswert für jedes Xi gleich, daher hab ich n mal den Erwartungswert von Xi und die summe fällt weg:
= 1/(n-1) * (n* E(Xi^2) - n * E(Xn^2))

jetzt noch n herausheben:
= 1/(n-1) * n * (E(Xi^2) - E(Xn^2))

ja das war's dann eigentlich eh n/n-1) noch auf die andere seite

mfg Shine

[the_unclean]

... Hab nachgelesen und oben steht wo dass die erwartungswerte der Xi alle gleich sind.. dann müssen auch die erwartungswerte der Xi^2 alle gleich sein..oder? ...Mit der Begründung wäre die Umformung etwas klarer.
Aber stimmt das jetzt sicher?
Steht das irgendwo in den Unterlagen?

Noch eine Frage:
analog geht man bei E(Xn^2) = Var Xn + (EXn)^2 vor, wobei man Xn durch 1/n*SUM(Xi) ersetzt
nach bissi mehr umformen als vorher, kommt man dann auf:
E(Xn^2) = 1/n * sigma^2 + mü^2Wenn man für VarX(Xn) dieses (1/n)(SUMXi) einsetzt dann kürzt sich das n aus der Summe mit dem 1/n davor weg -> bleibt nur noch SUMXi über

Was mach ich falsch?

greetz