Beispiel 10.3

[hajaj]

Auch hier hatte ich noch keine geniale geistige Eingebung ;) . Ich eröffne diesen Thread also mal in der Hoffung dass ich jemanden animieren kann seinen Lösungsweg zu posten :coolsmile .

[Spockman]

Es geht wegen des schwachen Gesetzes der großen Zahlen. Ich interpretiere das Integral als Erwartungswert einer auf [0, pi/2] uniform verteilten s. G., und der kann durch die diskrete Summe approximiert werden.

[sebus]

bin grad am googl'n, und soweit's niemand stört post ich mal seiten, die vielleicht verständnishilfen oder so bieten:
http://mspcdip.mathematik.uni-karlsruhe.de/Blaetter/Graduiertenkolleg/pdf/kapitel8.pdf
da steht zwar nicht 1A "warum" unsere Methode einen Schätzwert liefert, sieht aber meiner Meinung nach nett aus.
derSeb

[Sensei]

kann das jemand von spockman noch genauer ausführen? steige noch nicht vollkommmen durch...!

@ sebus: das selbe steht ja auch im buch, S. 102, oder?

[mas]

Morgen!

Zum Monte-Carlo-Integral (allgmein):
Im Rechteck (x1, x2, Y1, Y2) werden lauter uniformverteilte Zufallszahlen erzeugt; Die x-Werte werden nun in die zu integrierende Funktion eingesetzt => man bekommt für jede Zufallszahl den ensprechenden Funktionswert. Nun kann man den Zufallswert (y) mit dem Funktionswert vergleichen und sagen ob die geschätze Zufallszahl unterhalb der Funktion liegt, oder eben darüber.
Anhand des Verhältnisses (drunter und drüber) kann man jetzt Rückschlüsse auf die Fläche des bestimmten Integrals ziehen. Die Gesamtfläche des Rechtecks ist ja leicht zu berechnen ;-)

Also die sogennaten Treffer bezeichne ich mit "t"

==> ((x2-x1)*(Y2-Y1)*T) / n = eine Schätzung unsers bestimmten Integrals
-----------
Aber bei unserem Beispiel wird es ja noch "einfacher"

Beim Integrieren geht man ja her und berechnet man sich die Fläche ja dadurch, in dem man Summe(i,0,n) (x2-x1)*i*f(x) / n berechnet - und dabei n gegen unendlich gehen lässt (und damit delta x gegen 0 gehen lässt

Hier bei uns wird im Prinzip nichts anderes gemacht - nur, dass wir nicht stetig alle x-Werte einsetzen (naja, eigentlich doch - denn dafür nehmen wir ja uniformverteilte Zahlen) und n nicht gegen undendlich gehen lassen

Ja, und wenn ich jetzt die Summe etwas anders anschreibe (x2-x1) / n kann ich ja vor die Summe ziehen

(x2-x1) / n * Summe (i,0,n) f(x)*i

und wie schon gesagt durch unsere uniform-verteilten Zahlen wird aus f(x)*i - f(Ui) - natürlich muss Ui im Intervall liegen

Einsetzen von unseren Werten ergibt Pi/(2*n) * Summe (i,0,n) cos(Ui)

hoffe es reicht als Argumentation für a)

mas

[mas]

vielleicht noch ne kleine Ergänzung:
(x2-x1)*(Y2-Y1)*t / n (Monte-Carlo-Integral)

anders angeschrieben:
(x2-x1) * (Y2-Y1)*t/n

zum rechten Teil (Y2-Y1)*t/n:

t ist ja die Anzahl der Treffer - also das Verhältnis zwischen Treffer und Gesamtversuchen ist t/n
(Y2-Y1) - min und max der Funktion in diesem Intervall (kann natürlich auch weiter sein, nur bekommt man dann ja auch ein anderes t/n)

die Multiplikation: (Y2-Y1)*t/n - "quetscht" einfach das t/n in den Bereich (0,Y2-Y1)

und Y2-Y1 ist in unserem Fall ja 1 (cos ist eben im Intervall (0,Pi/2) - im Bereich (0,1)...........