[Frage] Beispiel 10.2 [Archive] - Informatik-Forum.at

View Full Version : [Frage] Beispiel 10.2

hajaj

14-12-2003, 19:55

Schon wer das Ding gerechnet? Ich steh da wieder mal voll an :( ...

Spockman

14-12-2003, 22:53

Ich komme, wenn ich von einer Alternativ-Verteilung von A ausgehe und für die Summe der "1"er , also in diesem Fall "A"s, die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiere, auf eine quadratische Gleichung und kann daraus 78 notwendige Versuche ablesen.

Unic0der

14-12-2003, 23:19

Autsch, ich versteh da nur Bahnhof :shinner: . Aber sehr nett hast das ganze Beispiel in einen Satz reinkomprimiert ;) .

Sebi

15-12-2003, 12:05

also ich steh da auch an.
Wenn man das wie im Hinweis steht mit dem Grenzverteilungssatz angeht....

ich kann doch meine Anzahl der Versuche als UIV Folge vorstellen. Und jetzt summiere ich die ersten n Glieder auf, und zwar so viele, bis die Wahrscheinlichkeit dass ich in diesem Z (wie es in der Definition in den Folien steht) 5 A's habe größer als 0,8 ist.

Frage ist nur, wie bekomme ich, wenn ich dieses Zn (Definition vom Grenzverteilungssatz) habe auf die Wahrscheinlichkeit??

ist meine frage überhaupt verständlich? ;)

lg
sebi

hajaj

15-12-2003, 12:10

JayJay

15-12-2003, 12:47

Meine Fragen zu dem Ding: :confused:

1) Wie kommst du darauf, dass die (unabhängigen) Versuche alternativverteilt sind?

2) Wie schließt du von der Alternativverteilung auf die Binomialverteilung

und

3) Wo(wie) setzt du dann in den zentralen Grenzverteilungssatz ein. Das durchlesen des entsprechenden Kapitels im Buch hat mir da leider auch nicht geholfen. :shinner:

Bitte postets doch einen kompletten Lösungsweg :engel: :thumb: .

thanks haj

nun, eine binomialverteilung ist es deshalb, weil z.B: bei 12 versuchen soll das ereignis A genau 5 mal eintreten und die restlichen male eben nicht.

da die einzelnen versuche stochastisch unabhängig sind kann ich sagen die wahrscheinlichkeit das 5 mal A eintritt ist W{A}*W{A}*W{A}*W{A}*W{A}, also W{A}^5.

naja und die restlichen male soll A eben nicht auftreten. also (1 - W{A})^7.

W{A} = 0.05
1-W{A} = 0.95

also habe ich 0.05^5 * 0.95^7

das stimmt aber nicht ganz weil ich folgendes haben koennte:
A.... A trifft ein
N.... A trifft NICHT ein

AAAAANNNNNNN

ich könnte allerdings auch folgendes haben:
AAANNNNNNNAA

aber auch:

NNNNNAAAAANN

usw.

also muss ich noch ein 12 über 5 davor setzen.

somit habe ich:
(12 über 5) * 0.05^5 * 0.95^7

das ist die wahrscheinlich das bei 12 versuchen genau 5 mal das ereignis A eintritt.

nun, das war jetzt nur ein beispiel zum erklären. was wir hier konkret brauchen ist allerdings nicht wahrscheinlichkeit wenn ich ne bestimmte anzahl an versuchen hab, sondern genau das gegenteil.
ich kenne die wahrscheinlichkeit, will allerdings die anzahl an versuchen haben.
also suche ich praktischen diesen 12er von meinem kleinen beispiel zuvor.

naja, also setze ichs einfach gleich x, somit habe ich folgende gleichung:

0.8 = (x über 5) * 0.05^5 * 0.95^(x-5)

naja, und derzeit hab ich ein problem damit diese gleichung aufzulösen. es ist zwar nur eine gleichung in einer variablen, allerdings kommt das x einmal im exponenten und einmal als basis vor also funktioniert das mit logarithmieren nicht ganz.

aber ich glaub bis daher sollts passen, falls das jetzt bissi zu schnell erklärt war erklär ichs
gern nochmal und zwar detailierter und ich wäre dankbar wenn mir irgendwer sagt wie man denn nun weiterrechnen kann.

mit approximieren hab ichs schon versucht aber sehr viel hat mir das auch nicht gebracht.

PS: falls tipps kommen sollten, bitte ich darum etwas in detail zu gehen. erklärungen die den umfang eines halben satzen haben, sind zumeist nicht befriedigend.

lg JayJay

ubu_roi

15-12-2003, 12:59

Autsch, ich versteh da nur Bahnhof :shinner: . Aber sehr nett hast das ganze Beispiel in einen Satz reinkomprimiert ;) .

Einfach in satz 24.2 einsetzen

Xi ~ Ap mit p=0.05 (E(Ap) = p; Var(Ap) = p*(1-p);)

E(S) = E( sum_1_bis_n(Xi) ) = n*p;
Var(S) = Var( sum_1_bis_n(Xi) ) = n*p*(p-1)

W{ S >=5 } = 1 - W{ S <= 4 } =

1 - FI( (4 - E(S)) / sqrt(Var(S)) ) >= 0.8

und dies nach n aufloesen.

JayJay

15-12-2003, 13:14

ok, ich hab grad bemerkt dass ich die angabe etwas ungenau gelesen habe.
es sollen nicht bei genau 5 versuchen das ereignis A auftreten sondern bei zumindest 5 versuchen.
das sollte natürlich etwas leichter zu lösen sein.
an der lösung arbeite ich gerade.

lg JayJay

Sensei

15-12-2003, 15:21

ok, auch wenn das oben jetzt nicht der richtige lösungsweg war wgene dieser angaben-anomalie zum erklärten ;) trotzdem DANKE JayJay... war eine wunderschöne Erklärung, die mich das ganze halbwegs verstehen hat lassen! wenn du dann was zum mind. 5 hast bitte poste es, ich auch falls ich vorher draufkomm ;)

atlan

15-12-2003, 17:43

Einfach in satz 24.2 einsetzen

Könntest du mir ja bitte die Seite im Buch bzw. das Folienkapitel sagen, wo der Satz steht, den hab ich bis jetzt nicht gefunden

Sensei

15-12-2003, 17:51

weiß auch nicht genau was er meint... schaut aber irgendwie dem Zentralen Grenzverteilungssatz ähnlich...!?

Unic0der

15-12-2003, 18:01

an der lösung arbeite ich gerade.
lg JayJay
Schon was rausgefunden? ;)

hajaj

15-12-2003, 21:14

@Sensei, Jayjay and all:

Ist dieses Beispiel so leicht dass es schon jeder hat ausser ich :shinner:, oder ist es so schwer das echt noch niemand eine korrekte Lösung hat?

Flowyes

15-12-2003, 21:26

@ubu_roi: Meinst du den Satz 23.2?
Und könntest du oder kann wer anderer vielleicht erklären, wie man dann das letzte nach n auflöst? Das schaff ich irgendwie nicht.

finyfunny

15-12-2003, 21:38

W{ S >=5 } = 1 - W{ S <= 4 } =

1 - FI( (4 - E(S)) / sqrt(Var(S)) ) >= 0.8

und dies nach n aufloesen.was isr das FI hier ?

welche formel ist da wirklich ? steh da total auf der leitung kann das noch wer erklären ? wäre echt nett :thumb:

lg finyfunny

Unic0der

15-12-2003, 21:39

E(S) = E( sum_1_bis_n(Xi) ) = n*p;
Var(S) = Var( sum_1_bis_n(Xi) ) = n*p*(p-1)Ich checke außerdem nicht ab wie Ihr auf E(S) und Var(S) kommt (zusätzlich zum der Frage von Flowyes und finyfunny).

Ich bitte daher die Statistikgenies unter uns um einen genauen Lösungsweg :thumb: .

thebigMuh

15-12-2003, 22:33

Ich versuch's wieder einmal, sind wahrscheinlich 37 Bazillionen Fehler drinnen:

Warum jeder einzelne Versuch alternativverteilt ist, ist glaub ich klar: Wir haben entweder Erfolg (A tritt ein, Wahrscheinlichkeit ist 0.05) oder keinen Erfolg (A tritt nicht ein, Wahrscheinlichkeit 0.95).

Nun kann die Summe von n unabhängigen alternativverteilten SG als Binomialverteilte SG mit den Parametern n und p dargestellt werden. Diese Summe kann (Grenzverteilungssatz) wiederum durch eine Normalverteilung approximiert werden. Das steht alles ganz schön und ausführlich auf Buch S. 108 unten, als Beispiel.

Dabei gilt:

X ~ B(n,p) : E(X) = n*p und Var(X) = n*p*(1-p)

Auf der nächsten Seite steht nun folgende Formel:

W{ [X - n*p] / [sqrt(n*p*(1-p)] <= x } = Phi(x)

Sehr schön. In unserem Fall kennen wir jedoch x und Phi(x), jedoch n nicht. Das wollen wir ja haben.

ACHTUNG; HIER BIN ICH MIR NICHT 100% SICHER:
Phi(x) = 0.8, unsere Wunsch-Wahrscheinlichkeit, und x ist 4, da wir ja die Wahrscheinlichkeit haben wollen, daß wir mindestens 5 Erfolge haben, also W{X >= 5}. Das ist jedoch gleich mit 1 - W{X <= 4}, was zu unserer Formel paßt.

Wenn wir jetzt einsetzen, erhalten wir:

1 - [4 - n*0.05] / sqrt( n * 0.05 * 0.95 ) >= 0.8

Hier bin ich mir jetzt wieder nicht sicher... um das aufzulösen, habe ich einfach den 1er auf die rechte Seite gewürgt und es als Gleichung angesehen... also:

[4 - n*0.05] / sqrt(n * 0.05 * 0.95) = 0.2

Naja, wenn man das jetzt lange umformt erhält man eine quadratische Gleichung, die etwa so aussieht:

n² + n * 0.95 * 0.04 / 0.05 - 16/0.05² = 0

Wenn man das auflöst, erhält man 2 Ergebnisse... eines ist -80 (kann's nicht wirklich sein), das andere 79.621, was recht plausibel klingt.

Tja. Vielleicht hab ich den totalen Käs gerechnet, vielleicht stimmts ja auch. Vielleicht habe ich auch die Statistikwisser animiert mich in der Luft zu zerreissen, und dadurch die korrekte Lösung preiszugeben :-)

Ciao, ¡muh!

finyfunny

15-12-2003, 22:46

Wenn wir jetzt einsetzen, erhalten wir:

1 - [4 - n*0.05] / sqrt( n * 0.05 * 0.95 ) <= 0.8

Hier bin ich mir jetzt wieder nicht sicher... um das aufzulösen, habe ich einfach den 1er auf die rechte Seite gewürgt und es als Gleichung angesehen... also:

[4 - n*0.05] / sqrt(n * 0.05 * 0.95) = 0.2

erstmal danke schaut grossteils gut aus find ich :thumb: nur einen den gequoteten schritt check ich nicht:
müsste es nicht(vorzeichnewechsel wegen subtraktion)[4 - n*0.05] / sqrt(n * 0.05 * 0.95)>=0.2 sein dass man dann einfach mit der ungleichung weiterrechnet....:confused: kann aber totaler schwachsinn auch sein :coolsmile was ich da schreib

lg finyfunny

leviathan

15-12-2003, 22:50

Wenn wir jetzt einsetzen, erhalten wir:

1 - [4 - n*0.05] / sqrt( n * 0.05 * 0.95 ) <= 0.8

Wieso <= 0.8 ???
Die 0.8 sind doch das Psi(x) und das ist glecih der Wahrschinlichkeit und cniht <= der Wahrscheinlichkeit
Hoffe ir kann da jemand helfen
lg leviathan

thebigMuh

15-12-2003, 22:59

Über den >= auf <= Wechsel: Jo, glaub schon daß das so funktioniert.

Leviathan: Tja, mußt du ubu_roi fragen, das habe ich voll von ihm übernommen. Habe gerade gesehen, daß ich beim abtippen das >= zu einem <= umgebaut habe, was quargel ist. Werd's gleich ausbessern...

Ciao, ¡muh!

Unic0der

15-12-2003, 23:34

Sagt's mal was habt's ihr alle mit diesem => ?
Meiner Meinung nach gehört da einfach ein = hin. (siehe: Buch Seite 109 oben)

Der Pfeil zwischen dem W {bla irgendwas} und Phi(x) soll ja nur bedeuten dass auf das W {bla irgendwas} das Phi(x) folgt. Und das interpretiere ich als = ;) .

Andere Interpretationen und/oder Vorschläge willkommen :D .

Und eine Frage hätte ich auch noch:

Das ist jedoch gleich mit 1 - W{X <= 4}, was zu unserer Formel paßt. Mir ist noch nicht klar wieso x=4 und was soll bitte "was zu unserer Formel passt" bedeuten? :confused:

1 - [4 - n*0.05] / sqrt( n * 0.05 * 0.95 ) >= 0.8Wieso wird da 1 - den gesamten Bruch gerechnet?

Naja, wenn man das jetzt lange umformt erhält man eine quadratische Gleichung, die etwa so aussieht:
n² + n * 0.95 * 0.04 / 0.05 - 16/0.05² = 0Ich komme leider nicht auf diese quadratische Gleichung. Ich mache anscheinend Fehler beim umformen.
bigMuh oder irgendwer anderer - bitte postet's die Zwischenschritte. Weil ohne die ist das ganze Beispiel für mich wertlos :( .

Ich hoffe Ihr könnt's mir rasch helfen :rolleyes: . Bin für jede Antwort dankbar :) .

thebigMuh

16-12-2003, 00:38

W{X <= x} ist die definition einer Verteilungsfunktion, und um solche geht's ja beim Zentralen Grenzverteilungssatz. W{X >= 5} ist zwar schön, ist aber sicher nicht direkt durch eine VF errechenbar. Darum wird hier die Umkehrwahrscheinlichkeit gerechnet (1 - W{X <= 4}). Deswegen auch "Weil's in unsere Formel paßt".

Zum Umformen:

Kein Wunder, daß du nicht dasselbe Ergebnis erreichst wie ich, ich hab mich volles Gewäsch verrechnet. :ahhh:

Naja, hier jetzt das hoffentlich richtige Ergebnis MIT Rechengang damits jeder gleich überprüfen kann:

//Ich hab gleich 1 rübergebracht und die Vorzeichen umgedreht

(4 - n*p)/sqrt(n*p*(1-p)) = 0.2
4-n*p = sqrt(n*p*(1-p))*0.2
// Jetzt quadrieren:
16 - 8*n*p + n²p² = n*p*(1-p)*0.04
// Jetzt durch p² dividiert:
16/p² - 8*n/p + n² = n*(1-p)*0.04/p

// Jetzt die Zahlen eingesetzt und gekürzt, sowie das n*.. von rechts nach links gebracht:
6400 - 160,76n + n² = 0

Wenn man das jetzt auflöst erhält man als Ergebnisse 88,187 und 72,573

88 ist zu groß, aber 72 ergibt in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt etwas < 0.8, und 73 etwas > 0.8, also scheint 72,573 (also eigentlich: 73 Versuche) das richtige Ergebnis zu sein.

Bitte nicht fressen für den Fehler :shinner: und nachrechnen.

Ciao, ¡muh!

Unic0der

16-12-2003, 01:15

Bitte nicht fressen für den Fehler :shinner: und nachrechnen.
Nachgerechnet und für richtig befunden :) .

greetz, osx

Sebi

16-12-2003, 01:18

Sensei

16-12-2003, 09:31

die Summe von n unabhängigen alternativverteilten SG als Binomialverteilte SG mit den Parametern n und p dargestellt werden
WARUM?!? ich checks net... :(

Sebi

16-12-2003, 09:35

weil die Binomialverteilung einfach genau so definiert ist....

die binimialverteilung macht aussagen über mehrere hintereinander ausgeführte Alternativversuche....

ich verstehe nur den Rechengang nicht...
mir ist in der Zwischenzeit sogar klar warum das X 4 ist... aber warum man einfach den Ausdruck "Wahrscheinlickeit von" weglassen kann...

lg
sebi

Sensei

16-12-2003, 09:52

naja... "wahrscheinlichkeit von"... da haben wir ja das ergebnis gegeben, nämlich 0,8 ... und jetzt schauen wir, wie wir darauf kommen indem wir schauen, was wir für n einsetzen müssen, dass genau das W{...} = 0,8 stimmt...!? oder red ich da schmarrn?

ps: danke für dioe erklärung von oben!

Czoggi

16-12-2003, 10:03

(4 - n*p)/sqrt(n*p*(1-p)) = 0.2
Wo ist eigentlich das Phi geblieben?

Sensei

16-12-2003, 10:05

wir haben für Phi(x) eingesetzt, und zwar 0,8 (aus der angabe)... weiß uch nicht ob das so stimmt, klingt aber ganz plausibel...!

Sebi

16-12-2003, 10:09

Sensei

16-12-2003, 10:16

wir haben 1-W{Ausdruck}=0,8
im nächsten schritt ist aber 1-Ausdruck = 0,8
nicht ganz... wirt hatten ja 1-W{ausdruck<=4}=0,8
und das <= 4 ist dann weg... weiß aber net, ob uns das gedanklich weiterbringt...!

Czoggi

16-12-2003, 10:23

wir haben für Phi(x) eingesetzt, und zwar 0,8 (aus der angabe)... weiß uch nicht ob das so stimmt, klingt aber ganz plausibel...!
Ich hab folgenden Ansatz:
W{S>=5}=0,8
W{S<=5}=0,2=PHI((5-np)/Sqrt(np(1-p)))

Da Phi immer >= 0.5 ist dreh ich wieder um:
0,8=PHI((5-np)/Sqrt(np(1-p)))

Ich schau in der Tabelle nach:
0,8~PHI(0,84)

Das heißt ich muß folgende (Un)Gleichung lösen:
(5-np)/Sqrt(np(1-p)) >= 0,84

Da erhalt ich (wenn ich mich nicht verrechnet habe) ca 56 Versuche

lg Czoggi

Sebi

16-12-2003, 10:30

naja, das hab ich mir auch gedacht, und so gerechnet, aber probier das mal aus...
d.h. sag du hast die anzahl von versuchen, und wie groß ist W für 5 A...
nun, zu klein :(

außerdem brauchst du glaub ich <5 oder <= 4

JayJay

16-12-2003, 11:03

also ich kann mich nur den letzten posts hier anschliessen.
ich verstehe einfach nicht wie man von einer zeile auf die andere das phi weglassen kann.

übrigens, bei unserer quadratischen gleichung: x² -173,4064x + 6400 = 0
erhalten wir :
x1 = 53,27499499
x2 = 120,131405

@bigMuh: kannst du mir bitte sagen, wo du eingesetzt hast sodass dir mit 72,573 eine wahre aussage rauskommt ??

PS: bitte um schnelle antwort, habe um 12 uhr meine übung =)

lg JayJay

Tom

16-12-2003, 11:28

(4 - n*p)/sqrt(n*p*(1-p)) = 0.2

[...]

also scheint 72,573 (also eigentlich: 73 Versuche) das richtige Ergebnis zu sein.
also das kann meiner meinung nach nicht stimmen, weil NICHT

(4 - n*p)/sqrt(n*p*(1-p)) = 0.2
sondern
PHI((4 - n*p)/sqrt(n*p*(1-p))) = 0.2

also PHI(x) = 0.2 => x=-0,84 (aus Tabelle)
und nun ist x = (4 - n*p)/sqrt(n*p*(1-p))

wenn man jetzt für alles einsetzt, komm ich auf:

-0.84 = (4-0.05*n)/sqrt(n*0.05*0.95)

nach n aufgelöst ergibt das 120.131, also n=121

ich hab das mit R überprüft:
n=121: 1-pnorm(4,121*0.05,sqrt(0.05*0.95*121)) = 0.8037507
n=120: 1-pnorm(4,120*0.05,sqrt(0.05*0.95*120)) = 0.7989026

aber natürlich kanns auch sein, dass auch das falsch is, weil das ganze vom ansatz her vielleicht schon nicht passt (im hinweis steht ja was von stetigkeitskorrektur, also dem +/- 1/2 in den formeln und das ham wir hier nirgends)

Tubul

16-12-2003, 11:33

ich hab das PHI so weggekriegt:

1-PHI((4-ES)/Sqrt(VarS))>=0.8
dann aber
PHI((-1)*(4-ES)/Sqrt(VarS))>=0.8
bringt uns auf
PHI((ES-4)/Sqrt(VarS))>=0.8

PHI(0.84)=0.8

also

(ES-4)/Sqrt(VarS)>=0.84
n>=120.131

und das scheint mir irgendwie nicht unpassend zu sein..weil eine Wahrsch. von 0.8 is ja ned so wenig..und es sollten auf jeden fall mehr als 100 versuche sein..oder? da is 121 no fast wenig (meinem gefühl nach..aber in statistik hab ích wohl keins)

edit: war ich wohl zu langsam... aber ich fühl mich wenigstens bestätigt