View Full Version : [Frage] Beispiel 10.5
Spockman
14-12-2003, 17:32
Nach Satz 20.3 komme ich für die Verteilungsfunktion von T_{12} auf das Produkt der Einzeldichten, also F(x) = x^2 für 0 <= x <= 1,Ff(x) = 0 sonst. Daraus ergibt sich die Dichtefunktion f(x) = 2x (Bereich analog).
Für die Summe T ergibt sich nach Faltung gemäß Satz 20.5 schließlich die Dichte h(z) = z^2 für 0 <= z <= 1, und h(z) = -z^2 + 2z für 1 < z <= 2.
edit:
ich probier einen zweiten anlauf:
1. müsste z nicht von 0 bis 2 gehen?
2. was ist das zweite h(z) ?
danke
sebi
@spockman: ok, also so ganz durchschaut hab ich deine lösung für b noch nicht.
ich schreib einfach mal auf wie ich das beispiel gelöst hab:
a) dichtefuntkion der uniformverteilung:
f(x) = 1/(b-a) * I(a,b)(x)
also bei uns: f(x) = 1 * I(0,1)(x)
f_T1(x) = 1
f_T2(x) = 1
somit:
F_T1(x) = x
F_T2(x) = x
laut buch seite 94 satz 20.3 gilt (für uns):
W{max(T1,T2) <= x} = F_T1(x) * F_T2(x)
=> F_T1+T2 = x²
=> f_T1+T2 = 2x
b) hier brauchen wir seite 96 satz 20.5:
h(z) = int(0; 1; f(z-t) * g(t))dt
bei uns sind
f(x) = 2x
g(x) = 1 (Dichtefunktion von T3)
nun setzen wir ein:
h(z) = int(0; 1; 2(z-t) * 1)dt = 2zt -t² | (von 0 bis 1) = 2z - 1
also kommen wir auf h(z) = 2z - 1 (für das intervall von 0 bis 1)
allerdings wissen wir nicht, ob das intervall bzw. h(z) stimmen.
für das intervall von 0 bis 2 erhalten wir: h(z) = 4z -4
lg JayJay
danke für die erklärung jayjay !
so ausführlich sollte jedes bsp gelöst werden! :)
allerdings glaub ich du hast dich beim integrieren geirrt:
t integriert ist doch 1/2 * t²
also hab ich für das intervall 0,1 folgendes: 2z - 1/2
wie kommst du denn drauf, dass man das intervall von 0 bis 2 brauchen könnte ?
leviathan
15-12-2003, 15:47
Kann mich nur anschließen JayJay löst sie immer sehr gut und sehr schön genau. THX :thumb:
lg leviathan
the_unclean
15-12-2003, 16:00
h(z) = int(0; 1; 2(z-t) * 1)dt = 2zt -t² | (von 0 bis 1) = 2z - 1
Ich glaube du hast dich beim integrieren geirrt
wenn man den 2er vors integral zieht kommt 2*(z²+t²)/2
=z²+t²
oder?
Lg
maz
finyfunny
15-12-2003, 16:18
@ jayjay ebenfalls danke erklärung ist echt gut ! :thumb: thx
@RS250
allerdings glaub ich du hast dich beim integrieren geirrt:
t integriert ist doch 1/2 * t²
also hab ich für das intervall 0,1 folgendes: 2z - 1/2
ich sag das passt schon ich machs mal noch ein bissi ausführlicher:
man hat ja das Integral(0,1)2(z-t)*dt=
Integral(0,1)2*z-2t=2zt-2*1/2*t^2| (0,1)=2zt-t^2|(0,1)
du hast da den 2er vergesse so kommt raus 2z-1
wozu man das intervall von 0 bis 2 braucht weiss ich auch leider ned eine erklärung davon wäre sehr nett :thumb:
lg finyfunny
sorry, hab finnys erklärung net gesehen... jetzt isses redundant; außerdem tippfehler ausgebessert
bei dem integral häng ich auch noch. @rs250... das mit dem integrieren selbst stimmt schon:
int 2(z-t)*1 dt = int 2z-2t dt = 2zt - 2*(1/2)*t^2 |
also das passt schon.
ABER: wie kommt ihr darauf, dass f(z-t) = 2(z-t) ist, wenn wir f(x) = 2x haben? Das schnall ich echt noch nicht...!
jetzt is mir grad was komisches aufgefallen bzw. glaub ich verstanden zu haben was spockman gemacht hat: er hat einfach f(.) und g(.) anders (genau umgekehrt) wie JayJay gewählt... dann gibt f(z-t) nat. 1 (is ja konstant 1) und es kommt eben z^2 für die Grenzen 0 und 1 heraus.
Komisch, hätte gedacht, dass das selbe rauskommen muss...
1) welches is richtig?
2) was is das mit den anderen intervallen bzw. wie kommt man überhaupt auf die intervalle (also ich mein die bereiche, in denen man integrieren muss...?!
finyfunny
15-12-2003, 16:52
[edit]
also das passt schon.
ABER: wie kommt ihr darauf, dass f(z-t) = 2(z-t) ist, wenn wir f(x) = 2x haben? Das schnall ich echt noch nicht...!naja also ich versteh das so
diw formel ist ja:
h(z) = int(0; 1; f(z-t) * g(t))dt
und wir haben unser f(x)=2x und unser g(x)= 1
für die formel brauche wir aber das f(x) an der stelle x= z-t ( f(z-t) )daher
2*(z-t)
ich hoffe das ist jetzt verständlicher
lg finyfunny :ausheck:
Unic0der
15-12-2003, 16:56
also bei uns: f(x) = 1 * I(0,1)(x)
f_T1(x) = 1
f_T2(x) = 1
somit:
F_T1(x) = x
F_T2(x) = x
Kurze triviale Zwischenfrage: Wie genau kommt man auf f_T1(x) = 1 , F_T1(x) = x bzw. auf f_T2(x) = 1 und F_T2(x) = x ?
Steh da grad voll auf der Leitung ;) .
=> F_T1+T2 = x²
=> f_T1+T2 = 2x
Und da wird dann die Dichtefunktion bestimmt indem man einfach das Ergebnis der Verteilungsfunktion ableitet, oder?
jap, danke... hab das zu blöd gedacht... ;) habts antworten zu meinen 2 fragen aus post 9?!
the_unclean
15-12-2003, 17:43
Kurze triviale Zwischenfrage: Wie genau kommt man auf f_T1(x) = 1 , F_T1(x) = x bzw. auf f_T2(x) = 1 und F_T2(x) = x ?
Setz einfach in f(x) = 1/(b-a) I(a,b)(x)
und setz für b=1, für a=0 ein
1 kommt dabei raus, und das integrierst und erhältst F_T1,F_T2
Und da wird dann die Dichtefunktion bestimmt indem man einfach das Ergebnis der Verteilungsfunktion ableitet, oder?Jo :)
greets
maz
Unic0der
15-12-2003, 17:53
Setz einfach ...
thx :) - jetzt hab auch ich checkt.
Jetzt würden mich aber noch Antworten auf die Fragen in Sensei's Post 9 interessieren ... :D
Hab versucht das Bsp aus dem Skriptum zu nutzen aber bin mir nicht sicher ob ich das richtig mache :(
h(z)= Int( f(z-t)*g(t) ) dt
f(z-t) = 2(z-t)* I(0,1)(z-t)
g(t) = I(0,1)(t)
h(z)= Int( 2(z-t)* I(0,1)(z-t)* I(0,1)(t)) dt
I(0,1)(z-t) = 1 wenn: 0 < z-t < 1
I(0,1)(t) = 1 wenn: 0 < t < 1
0 < z-t < 1 ==> z-1 < t < z
0 < z-t < 1 ^ 0 < t < 1
z-1 < t < z ^ 0 < t < 1
0 <= z <= 1: h(z)= Int[0;z]( 2(z-t)* 1* 1) dt
1 <= z <= 2: h(z)= Int[z-1;1]( 2(z-t)* 1* 1) dt
W{max(T1,T2) <= x} = F_T1(x) * F_T2(x) => F_T1+T2 = x² von JayJay
was passiert bei diesem Schritt ? Die Formel für die Wahrs. check' ich ja, aber wie kommst du da auf diese Vtlgs.Funktion ?
merci für 'n tipp,
derSeb
W{max(T1,T2) <= x} = W{T1 <=x ,T2<=x} =
= W{T1 <=x} * W{T2<=x} = F_T1(x) * F_T2(x) => F_T1+T2 = x²
ad 5b )
Kann mir wer die Frage beantworten, wieso zuerst zwischen 0 und 1 integriert wird und anschließend noch ein zweites Mal zwischen 0 und 2? :rolleyes:
Was soll diese Integration im Intervall 0, 2 bitte bringen?
jemand antworten zu post 9?! ==> scheint mir recht wichtig zu sein um dieses Bsp ankreuzen zu können...!
ad 5b )
Kann mir wer die Frage beantworten, wieso zuerst zwischen 0 und 1 integriert wird und anschließend noch ein zweites Mal zwischen 0 und 2? :rolleyes:
Was soll diese Integration im Intervall 0, 2 bitte bringen?
bin nicht überzeugt, dass das richtig ist
man vergleiche Folien Seite 22.7 -22.8
Unic0der
15-12-2003, 21:49
bin nicht überzeugt, dass das richtig ist
man vergleiche Folien Seite 22.7 -22.8
Jup, denke auch dass das zweite Integral zw. 1 und 2 gerechnet gehört.
Ich bekomme dann als Ergebnis für's zweite Integral h(a) = 2z - 3 raus.
kann den Punkt b) wer lösen und logisch erklären?
Komm mit den Ungleichungen nicht ganz zurecht :hewa:
thebigMuh
16-12-2003, 00:14
Ich hab auch so meine Überlegungen zu b.) angestellt, vielleicht ist es Schwachfug:
Was bei allen Dichtefunktionen für Uniforme Verteilungen hier wichtig ist, ist, daß sie nur im Intervall (0...1) einen (konstanten) Wert liefern, außerhalb liefern sie 0.
Das gilt auch für unsere 2x: Die maximale Dauer zweier Prozesse, die beide zwischen 0 und 1 Zeiteinheiten brauchen, kann wiederum maximal nur 1 Zeiteinheit betragen.
Für die Addition gilt etwas ähnliches: Die Summe der Zeit, die die beiden Prozesse brauchen können, ist maximal 2, da sowohl max(T1, T2) = 1 sein kann, als auch T3 = 1 sein kann.
Jetzt habe ich mich herumgespielt um herauszufinden, wie denn die Dichtefunktionen für die Faltung zweier stinknormaler U(0,1) Verteilungen aussehen kann, damit der resultierende Graph so aussieht wie im Buch auf S. 96.
Zwischen 0 und 1 ist es einfach, da ist h(x) = x. Zwischen 1 und 2 ist h(x) = -x + 2. Dadurch entsteht die hübsche Pyramide.
Jetzt kann man als Grenzen eigentlich nur irgendwas zwischen 0 und 1 einsetzen - nimmt man was größeres oder kleineres erzeugt ja die I Funktion der Uniformen Verteilung eine 0, und damit steht im gesamten Integral 0.
Naja... Wenn man jetzt einmal das unbestimmte Integral ausrechnet, so wie bereits vorgeschlagen, erhält man t² als Lösung. Wenn man nun als erste Grenzen z und 0 einsetzt, erhält man (z² - 0) = z² als Lösung. Setzt man als 2. Grenzen 1 und 1-z ein (das Komplement), so erhält man (1 - (z² - 2z + 1)) = -z² + 2z als Ergebnis.
Zeichnet man diese Funktion jetzt, mit z² für 0...1 und -z²+2z für 1...2, so erhält man ein recht plausibles Hütchen, mit Bauch/Delle nach rechts.
Die große Frage: Stimmt das, und wenn, dann WARUM?
Ciao, ¡muh!
EDIT: Auch sehr wichtig: Die Fläche unter der Dichtefunktion (= Die Verteilungsfunktion) ergibt in diesem Fall wieder 1.
Naja... Wenn man jetzt einmal das unbestimmte Integral ausrechnet, so wie bereits vorgeschlagen, erhält man t² als Lösung. Wenn man nun als erste Grenzen z und 0 einsetzt, erhält man (z² - 0) = z² als Lösung. Setzt man als 2. Grenzen 1 und 1-z ein (das Komplement), so erhält man (1 - (z² - 2z + 1)) = -z² + 2z als Ergebnis.
Hab mir das nochmal angeschaut und mein Ansatz von oben hat dieselben Ergebnisse wie du:
0 <= z <= 1:
-------------
h(z)= Int[0;z]( 2(z-t)* 1* 1) dt = 2z-z²
1 <= z <= 2:
-------------
h(z)= Int[z-1;1]( 2(z-t)* 1* 1) dt = z²
aber wie kann ich von die Grenzen schließen? find die 2. Grenzen [z-1;1] irgendwie verwirrent, für mich wären die umgekehrt logischer aber auf den Folien ist es so wie oben gelöst worden :hewa:
wieso machts für f einen unterschied ob das z zwischen 0 und 1 oder 1 und 2 ist?
0 <= z <= 1:
-------------
h(z)= Int[0;z]( 2(z-t)* 1* 1) dt = 2z-z²
1 <= z <= 2:
-------------
h(z)= Int[z-1;1]( 2(z-t)* 1* 1) dt = z²
klingt ja mal nicht schlecht, aber wie löst ihr denn das integral?!?[edit:hatte mich verrechnet]:
mit kommt raus bei den grenzen (0,z): z²
und bei den grenzen (z-1,1): z² + 2z
das Integrierte ist ja:
2zt - t² |(grenzen) oder?
Und da die entsprechenden grenzen eingesetzt führt eben zu dem von mir geposteten ergebnissen...!
klingt ja mal nicht schlecht, aber wie löst ihr denn das integral?!? mir kommt da raus 0 beim ersten (grenzen 0, z) und -4z² + 4z beim zweiten (grenzen z-1,1).
das ganze integriert ist doch mal
2zt - 2t² |(grenzen)
und da dann eben die jeweiligen grenzen eingesetzt bekomm ich die ergebnisse oben...!
2zt-2t²/2 | (grenzen)
wieso machts für f einen unterschied ob das z zwischen 0 und 1 oder 1 und 2 ist?
Hab das von den Folien abgekupfert: Seite 22.7 - 22.8
@augar... ja, da hab ich mich vesrchrieben... fehler gefunden; war nur ein nkleiner rechenfehler!
Hab das von den Folien abgekupfert: Seite 22.7 - 22.8
oh, danke,... die 22.8 ist mir bis jetzt noch gar nicht aufgefallen :shinner:
the_unclean
16-12-2003, 11:11
Setzt man als 2. Grenzen 1 und 1-z ein (das Komplement), so erhält man (1 - (z² - 2z + 1)) = -z² + 2z als Ergebnis.Hab grad auf der Folie 22.8 Entdeckt, wie die Grenzen gesetzt werden.
0 <= z <= 1:
-------------
h(z)= Int[0;z]( 2(z-t)* 1* 1) dt = 2z-z²
1 <= z <= 2:
-------------
h(z)= Int[z-1;1]( 2(z-t)* 1* 1) dt = z²Du hast z² & 2z-z² miteinander vertauscht.
Unic0der
16-12-2003, 13:26
Also gehört jetzt die Grenzen zwischen 0 und z für's erste Integral und z-1 bis 1 für's zweite, oder?
Und wie lässt sich das dann begründen? :confused:
Bitte rasche AW, hab gleich Übung :ahhh:
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