Beispiel 10.4

[Spockman]

Die Verteilung der Summe lässt sich zum Beispiel nach Satz 24.4 berechnen, oder als Produkt der charakteristischen Funktionen. Ich komme dabei auf W(a) = p^2*a*(1-p)^a.

[Unic0der]

Nice dass du schon ein Ergebnis hast - aber könntest du vielleicht einen genaueren Lösungsweg posten, damit wir dein Werk besser nachvollziehen können ;) .

Das gilt übrigens auch für Beipiel 1 und 6 das du gepostet hast :) .

[leviathan]

Muß MacOS X recht geben ein genauerer Lösungsweg ist immer besser. Ich tu mir bei Statistik zumindest recht schwer und tu mir viel leichter wenn ich einen lösungsweg hab.
Wäre nett von dir;)
lg leviathan

[Sebi]

hmm, 24.4. gibts nicht, ich schätze du meinst einfach die normale Faltung (22.4), oder?

@ Rechenweg:
so wie ich das sehe gibts da nicht viel Rechenweg:
Es gibt diesen Satz 22.4, über die Faltung diskreter Verteilungen. Da steht auch dieser Beweis.... der geht über 2 Folien, und am Ende steht da Summer(über alle x aus Mx) p1(x)*p2(a-x)

Diese Summe ist nun nichts anderes als W{X+Y=a} (X und Y die stochast. Größen der beiden Verteilungen)
p1(x) = W{X=x} = p*(1-p)^(x-1)
p2(x) = W{Y=y} = p*(1-p)^(y-1)

nun, jetzt brauch ma nur noch einsetzen in die Summe...

Wenn man das tut heben sich aber alle Hochzahlen wo das x vorkommt weg, und man hat das Ergebnis wie oben gepostet...


komm gerade drauf ich habe die summe einfach unter den tisch fallen lassen. ist nicht so gut, zumindest ohne erklärung.
hmmm, aber wenn ich die noch mit einbeziehe (ich sage Summe x von 0 bis a) , dann müsst ich das ganze noch mit (a+1) multiplizieren... wäre ein anderes ergebnis


hoffe das stimmt ...

hab nur ein Problem mit der Interpretation und einem konkreten Beispiel...

[buechsengustel]

(ich sage Summe x von 0 bis a)

warum?
Der Merkmalraum bei geometrischen Verteilungen ist doch N (nat. Zahlen), wenn man also über alle x aus dem Merkmalraum summieren will, braucht man Summe(x von 1 bis unendl.) oder nicht?

Irgendwie steig ich in Statistik langsam richtig aus, ich kann keins der Beispiele lösen.... :(

[finyfunny]

wie kommt ihr auf das a :confusedW(a) = p^2*a*(1-p)^a.

ich hätte nur :
summe(x €)p^2(1-p)^a-2

warum und wie man die summe weglassen kann ist mir auch schleierhaft :rolleyes: ware für jeden tipp seeeeeeeeeeeeeeehr dankbar :thumb:

habt ihr schon das konkrete bsp dazu ? :engel:

bin für jeden kleinen tipp dankbar

lg finyfunny

[atlan]

Ok, ich versuch mal einen kompletten lösungsweg:

mal das von Sebi:

p1(x) = W{X=x} = p*(1-p)^(x-1)
p2(y) = W{Y=y} = p*(1-p)^(y-1)

So, W{X+Y=a}=F(a)

y ist aber a-x, also

F(a) = sum(x,1,a)p*(1-p)^(x-1)*p*(1-p)^(a-x-1), umgeformt, x hebt sich auf:
F(a) = sum(x,1,a)p^2*(1-p)^(a-2)

nachdem in der summe jetzt kein x mehr vorkommt, fällt die summe eh weg:

F(a)=a*p^2*(1-p)^(a-2)

hm, ich glaub, das könnte so hinkommen, wieso bei spockman das (-2) wegfällt, is mir aber nicht so ganz klar

[ugi]

W(a) = Summe(x=1,a) über(p^2*(1-p)^a
= a*p^2*(1-p)^a

wenn du die summe von 1-a gehen lässt, dann sind das genau a glieder: also mal a
und von 1 deshalb, weil bei 0 Versuchen ja nix passiert


Konkretes Bsp: (da bin ich mir nicht ganz so sicher)
Lotteriezeihungen, wann werde ich das 1. Mal in 2 Lotterien gewinnen.

[finyfunny]

hab dein post noch nich gesehen ....das mit dem a* ist mir jetzt klar alledings hab ich noch genau wie atlan ^a-2 wohin komm das -2 ?

a klingt logisch eigentlich das ^a-2 hab ich ja auch...
versteh ich das jetzt auch richtig ? das a* kommt daher dass ich die summe wegelassen oder ? :coolsmile

lg finyfunny

[Sensei]

habs auch so; das mit dem (-2) check i a net...!

:
aber trotzdem noch eine Frage:
"Geben Sie anhand eines konkreten Beispiels eine Interpretation dieser Vtlg.!"

hat da jemand was?!?

[Unic0der]

p1(x) = W{X=x} = p*(1-p)^(x-1)
p2(x) = W{Y=y} = p*(1-p)^(y-1)
Wie kommt man denn auf das?
Bitte um klärende Worte ;) ...

aber trotzdem noch eine Frage:
"Geben Sie anhand eines konkreten Beispiels eine Interpretation dieser Vtlg.!"
der Frage schließe ich mich auch gerne an :)

greetz :coolsmile

[finyfunny]

@ MacOs X das ist glaub ich die formel für die punktwahrscheinlichkeit der geometrischen verteilungW({n})=p*(1-p)^(n-1) ( Buch seite 48)
in dem fall eben für die stochastischen grössen X und Y das n = dann einfahc das x und das y

ich hoffe das hilft

lg finyfunny :ausheck:

[Unic0der]

ich hoffe das hilft
Ja das tut es :D . Und zu deiner Antwort die sogar ne Quellenangabe hat kann ich nur sagen: :thumb:

[augar]

F(a) = sum(x,1,a)p^2*(1-p)^(a-2)

Sollte die Summe nicht bis a-1 laufen? Mit a fährt man doch über da Ziel hinaus :confused:

F(a) = sum(x,1,a-1)p^2*(1-p)^(a-2)

Bsp.: Könnte man hier nicht unsere guten alten Würfelbsps ausgraben?

Alternativversuche: Ich würfle solange, bis ich eine gerade Zahl habe ....

[hajaj]

Alternativversuche: Ich würfle solange, bis ich eine gerade Zahl habe ....
Und was wären dann die zwei "unabhängig geometrisch verteilten" stochast. Größen?

Die Anzahl der geraden Zahlen und die der ungeraden, oder? ;)

Dann würde mir nämlich dieses Beispiel auch logisch erscheinen :) ...

[augar]

Und was wären dann die zwei "unabhängig geometrisch verteilten" stochast. Größen?

Die Anzahl der geraden Zahlen und die der ungeraden, oder? ;)

Dann würde mir nämlich dieses Beispiel auch logisch erscheinen :) ...

Hmmmmmmmm hab das eher so angedacht:

px = W{X=n} = p*(1-p)^(n-1) n E |N
ist die Punktwahrscheinlichkeit dafür, dass beim n-ten wurf eine gerade Zahl gewürfelt wird (1* Ereignis 1, n-1* Ereignis 0)

py = W{Y=m} = p*(1-p)^(m-1) m E |N
ist die Punktwahrscheinlichkeit dafür, dass beim m-ten wurf eine gerade Zahl gewürfelt wird (1* Ereignis 1, m-1* Ereignis 0)

W{X+Y=a}
ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach a Würfen insgesamt dann
mit dem Würfel X eine gearde Zahl gewürfelt wurde und
mit dem Würfel Y eine gerade Zahl gewürfelt wurde

[Czoggi]

Ich würde es so interpretieren:
W{X=n}=Wahrscheinlichkeit beim n-ten Versuch eine Sechs zu würfeln
W{Y=m}=Wahrscheinlichkeit beim m-ten Versuch eine Sechs zu würfeln

W{X+Y=A}=Wahrscheinlichkeit nach X-mal würfeln mit einem und y-mal würfeln mit einem anderen Würfel genau 2 Sechsen am Tisch liegen zu haben (wobei egal ist wie oft ich jeweils würfel, hauptsache die Summe ist a)

[Unic0der]

Hmmmmmmmm hab das eher so angedacht: Ich würde es so interpretieren:
Tja, und was ist jetzt der richtige Ansatz *g* :D ?
Ich tendiere eher zu dem von augar, weil er mir einfach logischer vorkommt. Aber mehr als eine Tendenz isses halt dann auch schon nicht ;) .

[Sebi]

Sollte die Summe nicht bis a-1 laufen? Mit a fährt man doch über da Ziel hinaus :confused:

F(a) = sum(x,1,a-1)p^2*(1-p)^(a-2)


stimmt, da da X und Y ja jeweils aus den natürlichen Zahlen sein müssen...

das mit den geraden und ungeraden Zahlen klingt sehr gut.... danke :thumb:

[Coyote]

Hmm, hab mich hier jetzt mal so registriert, weil ich mit der Lösung hier ein großes Problem hab: In der Angabe steht doch nix von wegen dass die identisch verteilt sind, was soviel bedeutet wie die p sind NICHT gleich. damit wär die Summe wieder wesentlich komplizierter (ich habs noch nicht geschafft...).

Ich hoffe mal, dass mich jetzt irgenwer hier überzeugen kann, dass die doch gleich sind :D (sonst muss ich tatsächlich noch mein Hirn anstrengen)

Sonst erst mal Hallo an alle hier :)

[Sebi]

nun, da steht dass sie beide nach G p verteilt sind.
D.h. für mich sie sind nicht einfach nur geometrisch verteilt (sonst müsst man ja das G p nicht extra dazuschreiben, wäre ja eh klar wenn vorne steht geometrisch.

Da aber noch dabei steht G p heißt das für mich, dass sie beide mit dem parameter p Geometrisch verteilt sind...

überzeugend genug? ;)

[ubu_roi]

@ Beispeilel von ugi:

find ich okay, ein Bisschen ausfuehrlicher:

W {In einer Lotterie zu Gewinnen} = p

X = "Nach X ziehungen in Lotterie zu Gewinnen" ~ Gp

p1(x) ... W{ Ich gewinne nach x Ziehungen in Lotterie 1 }
p2(y) ... W{ Ich gewinne nach y Ziehungen in Lotterie 2 }
F(a) ... W{ Ich gewinne nach a Ziehungen in beiden Lotterien }

[mas]

also kurz gesagt: man erkennt, dass die Wahrscheinlichkeit:
- beim 2ten Mal in Lotterie A und beim 10 Mal in Lotterie zu gewinnen
gleich ist wie
- beim 4ten Mal in A und beim 8ten Mal in B

oder?

[Coyote]

nun, da steht dass sie beide nach G p verteilt sind.
D.h. für mich sie sind nicht einfach nur geometrisch verteilt (sonst müsst man ja das G p nicht extra dazuschreiben, wäre ja eh klar wenn vorne steht geometrisch.

Da aber noch dabei steht G p heißt das für mich, dass sie beide mit dem parameter p Geometrisch verteilt sind...

überzeugend genug? ;)
Absolut, man muss es ja schliesslich nur argumentieren können, wenn man an der Tafel steht... :D
Schönen Dank auch