View Full Version : [Frage] Beispiel 10.1
Spockman
13-12-2003, 22:29
Funktioniert wegen Satz 23.2, eine Konsequenz des zentralen Grenzverteilungssatzes. Es gilt die Lindeberg-Bedingung (B. S. 106), da alle X_i durch 1 beschränkt sind (Korollar 23.1).
Wir haben Erwartungswert von U_i = 1/2 (entspricht mü in Satz 23.2), Var U_i = 1/12, also Wurzel der Varianz (entspricht sigma in Satz 23.2) = Wurzel von 1/12; n laut Angabe 12, also n*Mü = 6 und damit passt es genau in die Formel.
Aber sollen wir da nicht die Beziehung OHNE Zuhilfename der Lindemann Bedingung beweisen - sonst wär das Beispiel ein bissi trivial.
In diesem Zusammenhang komm ich aber nicht mal auf die Faltung zweier U_{0,1} Verteilungen. OK, ich versteh das Ergebnis (also die "Dach-Funktion"), aber wie ich rechnerisch auf diese Dichtefunktion komme ist mir ein Rätsel.
Über die Faltungsformel: h(z)=int( g(z-t) f(t) dt ) komm ich einfach nicht auf "1-|1-x|", was ja die Dichtefunktion beschreiben würde.
leviathan
15-12-2003, 12:36
kannst du bitte den Satz 23.2 posten oder sagen wo der im buch steht?
lg leviathan
kannst du bitte den Satz 23.2 posten oder sagen wo der im buch steht?
Seite 107.
@ spockman & alii:
wir kommt ihr auf die Varianz von U_i = 1/12?!?
Versuch mich da jetzt schon ein Zeitl... bekomm nix gscheites...!
@ spockman & alii:
wir kommt ihr auf die Varianz von U_i = 1/12?!?
Versuch mich da jetzt schon ein Zeitl... bekomm nix gscheites...!
Varianz einer Uniformen ist ((b-a)^2)/12, also ((1-0)^2)/12 => 1/12
Danke vielmals!
ABER: Spockman begründet mit Satz 23.2 ... aber da wird vorausgesetzt
Ist X1,X2,... eine unendliche Folge von [...]
lim(n-->unendl) [...]
da kann doch was nicht stimmen, wenn wir in unserer Begründung jetzt einfach n=12 wählen...?!?
Oder hab ich was falsch verstanden?
Jetzt noch ein kompletter Lösungsweg und der Tag wäre gerettet :) .
Ich hoffe es kann sich jemand dazu durchringen :engel: ...
thebigMuh
15-12-2003, 19:04
Ich glaube nicht, daß da eine _perfekte_ Glockenkurve rauskommen würde, sondern nur eine Annäherung, obwohl in der Angabe steht "Dies liefert eine N(0,1) verteilte Zufallszahl". Das ganze müßte bessere Ergebnisse liefern, wenn man mehr Zufallszahlen nimmt, also z.B. 18 Zahlen, und -9, oder 100 Zahlen und -50. Oder eben wie beim zentralen Grenzverteilungssatz n->unendlich.
Ciao, ¡muh!
EDIT: Bin ein Dödel. In der Angabe steht eh "approximativ nach N(0,1) verteilt". Hätte mir den Post sparen können :-P
Also, für n->unendlich liefert das eine perfekt normalverteilte Zufallszahl, für n = 12 nur eine recht gut normalverteilte Zufallszahl.
thebigMuh
15-12-2003, 19:32
Danke der Posts hier hab ich's durchgerechnet, und es erscheint mir schwerst logisch. Ich versuche mich ein Mal:
Es geht hier darum, daß die Summe vieler unabhängiger stochastischer Größen eine normalverteilte SG ergeben sollen. Das riecht sehr streng nach zentralem Grenzverteilungssatz.
Wenn man das Buch nun aufschlägt, fällt einem Satz 23.2 ins Auge, denn wir haben:
- 12 unabhängige, identisch verteilte Zufallszahlen.
- Wir haben die Varianz, die ist für eine beliebige Uniforme Verteilung (b-a)² / 12, also in unserem Fall 1/12.
- Wir haben den Erwartungswert, der ist (b-a)/2, also hier 0,5.
Damit haben wir alle Voraussetzungen, um den Satz 23.2 aus dem Buch S. 107 zu befummeln:
[Sum(i=1..n)(Xi - n * mü)] / [s * sqrt(n)]
Den Limes habe ich weggelassen, wir haben ja ein fixes n vorgegeben, nämlich 12.
s ist hier die Streuung, also die Wurzel der Varianz. Man sieht schon, daß sich Varianz und n hier wunderbar wegkürzen, und wir daher unter dem Bruchstrich nur mehr sqrt(1) = 1 stehen haben, was wegfällt.
Über dem Bruchstrich haben wir noch n * mü. Mü ist der Erwartungswert, also für uns 0,5, wodurch am Ende nur mehr stehen bleibt:
Sum(i=1..n)(Xi - 6)
was genau das ist, was wir als Angabe haben.
Ich hoffe das war verständlich, und ich habe nicht allzuviele Fehler einschmuggelt :)
Ciao, ¡muh!
- Wir haben die Varianz, die ist für eine beliebige Uniforme Verteilung (b-a)² / 12, also in unserem Fall 1/12.
- Wir haben den Erwartungswert, der ist (b-a)/2, also hier 0,5. Dürfte ich noch fragen, in welche Formeln du da einsetzt, um auf die Varianz und den Erwartungswert zu kommen? ;)
Dürfte ich noch fragen, in welche Formeln du da einsetzt, um auf die Varianz und den Erwartungswert zu kommen? ;)
EX = Folien Seite 11.2
VARX = Folien Seite 12.4
EX = Folien Seite 11.2Komisch da steht aber E(X) = (a+b) / 2 ;
thebigMuh hat aber in E(X) = (b-a) / 2 eingesetzt. Wieso das? :confused:
<EDIT> Glaube ich hab's grad selbst rausgefunden. Er hat das wahrscheinlich gemacht, damit er keinen negativen Erwartungswert herausbekommt (was ja nicht sein darf ;) ). Bitte korrigiert mich wenn das falsch ist :) </EDIT>
thebigMuh
15-12-2003, 21:22
Kommt in diesem Fall auf das gleiche raus. Der Erwartungswert einer Uniformen Verteilung ist das Zentrum zwischen den beiden Parametern. Wie man sich das jetzt ausrechnet ist eigentlich egal solange es stimmt :-)
Die Varianz für eine kontin. Verteilte stochastische Größe ist allgemein:
Int(-unendlich...+unendlich)[(x - EX)² * f(x)] dx
Da die Uniforme Verteilung außerhalb der zwei Parametergrenzen sowieso 0 ist, können wir die Grenzen auf a...b einschränken. Wenn wir jetzt einsetzen, erhalten wir:
Int(a...b)[(x - (a+b)/2)² * f(x)] dx // jetzt f(x) rausnehmen, da nicht von x abhängig
--> [1 / (b-a)] * Int(a...b)[(x - (a+b)/2)²] dx // jetzt integrieren
--> [4x³ - 6*(a+b)*x² + 3*(a+b)²*x] / [12*(b-a)] // auswerten an a...b
--> (b-a)²/12
Soda, ich hoffe das macht's verständlicher :-)
Ciao, ¡muh!
buechsengustel
15-12-2003, 22:44
Den Limes habe ich weggelassen, wir haben ja ein fixes n vorgegeben, nämlich 12.
hmm, bist du sicher, dass man das einfach kann? demnach hat man 12 nur deshalb genommen, damit sich was wegkürzt und das alles einfacher wird?
weil bei n=20 zum beispiel hätten wir ja eine bessere approximation, nur schaut die formel für eine zufallszahl dann so aus:
Summe(i von 1 bis 20) Ui - (20/2)
__________________________
Sqrt(1/12) * Sqrt(20)
oder bisschen einfacher
Summe(i von 1 bis 20) Ui - 10
_______________________
Sqrt(12) * Sqrt(20)
stimmt das?? was haben wir denn aus diesem beispiel gelernt?
thebigMuh
15-12-2003, 22:51
Es scheint so, als ob die Zahl 12 hier absichtlich gewählt wurde, damit's netter zum Rechnen ist. Ob uns das jetzt irgendwas gebracht hat, kann ich dir leider auch nicht sagen :)
Ciao, ¡muh!
EDIT: Das ein Divisor für n != 12 übrig bleiben muß, ist bei genauerem Nachdenken klar. Für n > 12 muß er > 1 sein, für n < 12 muß er < 1 sein, wir wollen ja standardnormalverteilte SG haben. Im Schnitt wird jede gewählte Zufallszahl 0.5 sein... wenn wir daher immer mehr Zufallszahlen verwenden, werden die Zahlen immer größer, also müßen wir sie mit einem Divisor wieder in den 0...1 Bereich hineinquetschen. Aufgrund der Eigenschaften der uniformen Verteilung geht es sich bei n == 12 gerade aus, daß der Divisor 1 wird und wegfällt.
pafrusurewa
15-12-2003, 23:51
Danke der Posts hier hab ich's durchgerechnet, und es erscheint mir schwerst logisch. Ich versuche mich ein Mal:
Es geht hier darum, daß die Summe vieler unabhängiger stochastischer Größen eine normalverteilte SG ergeben sollen. Das riecht sehr streng nach zentralem Grenzverteilungssatz.
Wenn man das Buch nun aufschlägt, fällt einem Satz 23.2 ins Auge, denn wir haben:
Ich hab das Buch leider nicht, deshalb:
Wie steht dieser Satz genau im Buch und in welchen Zusammenhang?
Bin für jede Aufklärung dankbar
thebigMuh
16-12-2003, 00:19
Ich hab ihn ein paar Zeilen drunter eh hingeschrieben ("Damit haben wir alle Voraussetzungen, um den Satz 23.2 aus dem Buch S. 107 zu befummeln:..."). Steht im Zusammenhang mit dem zentralen Grenzverteilungssatz, wo's darum geht, daß man eine Normalverteilung annähert wenn man genügend viele andere Verteilungen faltet.
Ciao, ¡muh!
pafrusurewa
16-12-2003, 00:28
Danke. Ich wollte nur sichergehen, dass der haargenauso dort drinnen steht und dass ich den als gegeben ansehen kann.
Nochmals vielen Dank für deine detaillierten Postings.
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