9.1

[atlan]

Hm, ich tipp mal, dass jedes Xi geometrisch verteilt ist mit p=1/m (haben ja alle die gleiche Wahrscheinlichkeit), also:

Sum(k=1,n){p(1-p)^(k-1)}

Mit dem Hinweis, dass X die Summe aller Xi ist, hätte X dann die Verteilung:

F(x) = 1/m Sum(i=1,m){Sum(n=1,x){p(1-p)^(k-1)}}

Wieso da in der Angabe "Erwartungswert" steht kapier ich nicht ganz (das n is meiner Meinung ja der Parameter der Verteilungsfunktion)
Naja, wie auch immer:

F(10)=0.401263
F(20)=0.641514
F(100)=0.994079

[Unic0der]

Ich habe versucht deine Ausführungen nachzuvollziehen - aber es will mir einfach nicht gelingen :( .

Kannst daher vielleicht die Zwischenschritte etwas genauer aufschlüsseln.

[atlan]

Ok:

Zunächst nehm ich einfach mal an, dass es sich bei den einzelnen Xi um Geometrisch verteilte Größen handelt (nachdem ich ja so oft kaufen muss, bis ich Figur "i" hab, dürfte das wohl stimmen)

Dann ist ja die Verteilungsfkt der Geometrischen Verteilung:

F(x)=sum(n=1,x){p(1-p)^(n-1)}

Mit dem Hinweis auf gleiche Wahrscheinlichkeit bei m Figuren hab ich p = 1/m und mit dem Hinweis, X als Summe aller Xi darzustellen hab ich dann folgendes:

Sum(i=1,m){Sum(n=1,x){p(1-p)^(k-1)}}

Nachdem das aber letztendlich eine Verteilung sein soll, muss ich noch durch m dividieren (außerdem will ich ja alle figuren, also hab ich mit einer erst 1/m meines Wunsches erfüllt ;)) ja, und das gibt dann eben

F(x)=1/m Sum(i=1,m){Sum(n=1,x){p(1-p)^(k-1)}}

einsetzen, fertig

[leviathan]

Ok ein blöde fragen.

man will doch den Erwartungswert und nicht eine Wahrscheinlichkeit. Man will doch praktisch wissen wieviele verschiedenen Figuren bkomme ich durschnittlich wenn ich 10, 20 oder 100 Packungen kaufe.

lg leviathan

[Unic0der]

man will doch den Erwartungswert und nicht eine Wahrscheinlichkeit.
Genau das denke ich mir entzwischen auch. Nur wie man das rechnet weiß ich leider noch nicht.
Wenn wer draufkommt wie's geht bitte gleich posten ;) .

[ibins]

@leviathan
das ist doch der ERWARTUNGSWERT: wieviele unterschiedliche Figuren kannst du dir ERWARTEN, wenn du 10, 20, 100 mal Cornflakes kaufst ;)

PS: ich bekomm das Gleiche raus - es wird wohl stimmen

[leviathan]

das heist es gibt gesammt 20 figuren und ich kaufe 10 schachteln und dann kann ich 0,4... figuren erwarten.
irgendwie stehe ich da auf der leitung. ich hab doch schon bei der ersten schachtel eine figur das heist bei 10 schachteln mu ich doch dann mehr als 1 haben und nciht weniger.
kannst du mir da meinen fehler in der logik erklären.
P.S.: Was setze ich für p und k ein??? p hab ich 1/m udn k hab ich n. stimmt das?

lg leviathan

[BurnOut]

F(100)=0.994079
Ich galube da würden jedem Sammler die Haare zu Berge stehen wenn er bei
100 Packungen nur ~1 Figur zu erwarten hätte
:coolsmile

Ich habe einen anderen Ansatz:

Die Wahrscheinlichkeiten f. Xi sehen so aus:
p(0) = (1-1/m)^n //Es darf bei keiner der n Packungen Figur i drinnen sein daher Gegenws.
p(1) = 1 - (1-1/m)^n //Auf Punkt 1 (bei n Packungen 1 oder mehr Fig. gesammelt) entfällt die restliche Ws.

EX = Summe(Psi(x1...xm)*p(x1...xm)) über alle Möglichkeiten für (x1...xm) (Folien: 19.1)
Nun welche Möglk. gibt es für (x1...xm):
(100000....0) (0100000....0) ...... = m Möglichkeiten
(110000....0) (1010000....0)........= n über k (k = Anzahl der Einser), da das ganze ja nichts anderes als eine Kombination ohne WH ist.
Wenn ich jetzt die Summe will muss ich die Anzahl der Möglichkeiten mit k multiplizieren und das ganze von 0 bis m aufsummieren.

Das ganze in die EX Formel eingesetzt ergibt:
EX = Summe(k=0;m; k*(n über k) * p(1)^k * (1-p(1))^(n-k)

Das ganze ist jetzt nichts anderes als die Erwartungswertformel f. die
Binomialverteilung mit Parametern m,p(1) und für die wissen wir, dass EX = m*p(1).

für n = 10 Packungen = 20*(1-(19/20)^10) = 8,02526
für n = 20 Packungen = 20*(1-(19/20)^20) = 12,8303
für n = 100 Packungen = 20*(1-(19/20)^100) = 19,8816


Ich hoffe das kann nachvollzogen werden
:verycool:
Ansonsten fragen.

[Unic0der]

Ansonsten fragen.
Jo, das klingt so weit ich jetzt gesehen hab logisch. Könntest vielleicht noch editieren in welche Formeln (B.S. ? ;) ) du da einsetzt?
Das würde das nachvollziehen um einiges leichter machen :) ...

[leviathan]

blöde frage wie kommst du auf
EX = Summe(k=0;m; k*(n hoch k) * p(1)^k * (1-p(1))^(n-k)
und wo setzt du dann ganz am schluß ein verstehe auch nciht wie du auf die formel kommst.
Kannst du das bitte noch genauer erklären thx

Finde aber auch das das besser klingt.
lg leviathan

[ibins]

zur Sache von vorher:
naja, du kannst dir jede einzelne Figut zu 0.4 oder so % erwarten, wenn du 10 kaufst...

[leviathan]

ja aber ich will doch den erwartungswert wieviele verschiedenen figuren ich bekomme und ncht die wahrscheinlichkeit das ich eine firur zu 0,4... bekomme wenn ich 10 packungen kaufe. Der erwartungswert liefert doch keine Wahrscheinlichkeit zurück???
sondern die konkrete anzahl.

z.b.: Münze 10 mal werfen. beides gleich wahrscheinlich. dann bekomme cih raus das ich bei 10 Würfen 5 mal kopf habe und nicht irgend ein ergebnis mit einer wahrscheinlichkeit.

oder verstehe ich de werwartungswert vollkommen falsch???

lg leviathan

[BurnOut]

blöde frage wie kommst du auf
EX = Summe(k=0;m; k*(n hoch k) * p(1)^k * (1-p(1))^(n-k)

Psi(x1...xm) ist die Summe der Einsen in (x1...xm).
Wenn wir nun alle Möglichkeiten für (x1...xm), wobei xi 0 oder 1 sein kann, aufsummieren erhalten wir:
k = 1 (es kommt 1 1er vor); davon gibt es 20 Möglichkeiten (20 über 1) und da wir die Summe haben wollen mal k.
Diese müssen nun alle mit p(x1...xm) multipliziert werden.
Da alle p(xi) s.u. sind, kann ich sagen p(x1..xm) = p(x1)*p(x2)*...*p(xm) =
bei k=1: p(1)*p(0)*p(0)*....*p(0) = p(1)^k * p(0)^(n-k)
und für p(0) schreibe ich 1-p(1).



und wo setzt du dann ganz am schluß ein verstehe auch nciht wie du auf die formel kommst.
Kannst du das bitte noch genauer erklären thx


m und p(1) sind die Parameter der Binomialverteilung
wobei m=20 und p(1) = (1-(19/20)^Anzahl der Packungen)

oh ich hab gerade gemerkt, dass ich überall "hoch" statt "über" geschrieben habe.
Werde es sofort ausbessern. Sorry für die Verwirrung :rolleyes:

[BurnOut]

z.b.: Münze 10 mal werfen. beides gleich wahrscheinlich. dann bekomme cih raus das ich bei 10 Würfen 5 mal kopf habe und nicht irgend ein ergebnis mit einer wahrscheinlichkeit.

oder verstehe ich de werwartungswert vollkommen falsch???

lg leviathan

Genauer gesagt, dass ich die Wahrscheinlichkeit, 5 mal Kopf zu werfen am größten ist.

[leviathan]

ja aber trotzden gibt es die anzahl des wahrscheinlichsten ergebnisses an und nicht eine wahrscheinlichkeit an.
lg leviathan

[N-Dee]

Es dürfte die Lösung vom Atlan nicht allzu falsch sein, man muss die Ergebnisse nur richtig interpretieren. Meiner Meinung nach berechnet er die Wahrscheinlichkeit, mit der man alle (also m) Figuren nach einer bestimmten Anzahl an Packungen hat.

Es fehlt daher die Multiplikation mit m, um auf die zu erwartende (absolute) Anzahl zu kommen -> Und schon stimmen die Lösungen beider Ansätze überein.

Ich hoff, ich lieg da nicht allzu weit daneben.

Greets,

N-Dee

[Chrise]

@N-Dee: ist eine interessante beobachtung, dass man die werte nur mal 20 nehmen muss, und sie dann stimmen.

Dennoch bin ich der meinung, dass deine interpretation nicht ganz stimmen kann. die wahrscheinlichkeit nach 10 Packungen 20 figuren zu haben muss ja logischer weise 0 sein. nach deiner aussage ist sie aber 0.40..... was nicht sein kann, oder hab ich dich falsch verstanden?

[Sensei]

Könntest du (oder jemand anderes, der's kapiert) das hier:

(100000....0) (0100000....0) ...... = m Möglichkeiten
(110000....0) (1010000....0)........= n über k (k = Anzahl der Einser), da das ganze ja nichts anderes als eine Kombination ohne WH ist.
Wenn ich jetzt die Summe will muss ich die Anzahl der Möglichkeiten mit k multiplizieren und das ganze von 0 bis m aufsummieren.
nochmal erklären? Ich check das net...

thx

[DerMaxXx]

will ja altes nicht wieder aufwärmen, hab nur eine frage zu dem statement

Ok:
Zunächst nehm ich einfach mal an, dass es sich bei den einzelnen Xi um Geometrisch verteilte Größen handelt (nachdem ich ja so oft kaufen muss, bis ich Figur "i" hab, dürfte das wohl stimmen)


Wenn ich gerade meine Xi (geom. vert.) kaufserie habe und ich hab die Fig. j, dann kann ich die ja für meine Xj verwenden und bin nicht erfolglos. Die hängen doch zusammen oder?

markus

PS: hoff meine schlichte ausführung ist verständlich :)

[Sensei]

@ atlan:
ich versuch das nachzuvollziehen was du dir dabei denkst... aber das:

F(x)=1/m Sum(i=1,m){Sum(n=1,x){p(1-p)^(k-1)}}

hat doch schon mal keinen sinn; die innere summe hat n als Laufvariable - die kommt ja aber gar nicht vor in dem ausdruck dahinter.
oder check ich da einen gedankenschritt net...?

[atlan]

@sensei

Da hast du vollkommen recht, das war ein schlampigkeitsfehler (normalerweise nehm ich k als laufvariable)

F(x)=1/m Sum(i=1,m){Sum(n=1,x){p(1-p)^(n-1)}}

dann stimmts wieder.

nebenbei wundert es mich nach einigem nachdenken eh, wie das überhaupt funktionieren kann, weil eigentlich hab ich da einen kompletten blödsinn gemacht
:|