Beispiel 17

[dj_m.o.h.t.]

Man bestimme die Funktionalmatrix zu f:R^3->R^2: f(xyz) = (sin(x+y-z) cos(xy/z))

[lj_scampo]

weiss jemand, was denn eine funktionalmatrix ist :confused: ?! entweder ich hab das in der vorlesung verschlafen oder wir haben es noch nicht gemacht..

[Morphium]

http://saftsack.fs.uni-bayreuth.de/thermo/jacobidet.html
:D

[Morphium]

ums nochmal zu sagen

man leitet beide funktionen nach x,y,z partiell ab und bildet dann eine fmatrix mit den jeweiligen ableitungen

[PliniusSecundus]

Stimmt das so ?
(das sollen drei Zeilen einer Matrix sein:)

.....(cos(x+y+z) -sin(xy/z)y/z) part. Abl. nach x
L= (cos(x+y+z) -sin(xy/z)x/z) nach y
.....(-cos(x+y+z) sin(xy/z)xy/z²) nach z

[tscherno]

hab ich auch so.

kleiner tippfehler: sollt cos(x+y-z) heissen.
aber ich hab das ganze nicht als 3x2 sondern als 2x3 matrix angeschrieben.

sonst tät ich sagen, passts. :D

.tscherno

[dj_m.o.h.t.]

f = sin(x+y-z)

g = cos(xy/z)

df/dx = cos(x+y-z)
dg/dx = sin(xy/z * y/z)

df/dy = cos(x+y-z)
dg/dy = -sin(xy/z * x/z)

df/dz = -cos(x+y-z)
dg/dz = sin(xy/z) * xy/z^2

[Morphium]

also laut ref sollte es eine 2x3 Matrix sein bzgl weiterführender ops könnte aber auch egal sein.

[Shade]

kann mir mal jemand die ableitungen von g erklären?ich nehme mal an das es nach der kettenregel geht.durch die "innere ableitung fällt dann immer die jeweilige varible weg.
zb ableitung von g nach x =sin(xy/z * y/z)
cos wird zum sinus und innen wird erstmal xy/z hingeschrieben und dann nochmal abgeleitet.
soweit sollte ichs verstanden haben.
aberwoher kommt das "-sinus..." bei
dg/dy = -sin(xy/z * x/z)
und wieso sthet bei der ableitung nach "z" ein term ausserhalb das sinuses?
wär nett wen mir jemand helfen könnt.
mfg

[Chris]

hmm.. schau dir mal die Lösungen von PliniusSecundus an.. die stimmen würde ich sagen (habs selber gerechnet und bin auf dasselbe gekommen)

robby hat anscheinend die klammer vom sin zu spät zugemacht, da sollte immer nur (xy/z) drinnenstehen... und der rest ausserhalb vom sinus, damit sollten dann auch die vorzeichen alle klar sein...

mfg Chris

[Shade]

:thumb:
o.k ich glaub ich hab vertsanden:
bei der ableitung nach z ist beim cos deshalb ein minus davor weil in der klammer ein -z steht was man auch noch zu -1 ableiten muss.
und vor dem sin ist deshalb kein minus,weil es ja heisst:
cos(x*y*z^-1) das z^-1 wird dann wieder als innere ableitung behandelt und das -1 kürzt die -1 die eigentlich vor dem sin steht weg.:D

[asterix]

.....(-cos(x+y+z) sin(xy/z)xy/z²) nach z

Hi,

ich verstehe leider deine Erklärung zur Ableitung nach z nicht ganz. Wieso z^2??

lg

[Shade]

okay,es heisst ja xy/z.
das kann mal als x*y*z^-1 schreiben.
wenn mann jetzt nach z ableitet wird der exponet(-1) nach vorne geschrieben,und dann um 1 erniedrigt.-1-1=-2
=> -1*x*y*z^-2
z^-2 ist jetzt wieder nix anderes als
1/z²

also -(x*y)/z²
und die -1 kann man jetzt nach vorne vor den cos ziehen.hoffe es ist alles klar
:D

[asterix]

Danke Shade!!!

Jetzt ist alles klar.

lg